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酉变换与正交变换(续) 上节回顾：酉变换 数域F上内积空间V上的保长变换 上节回顾：酉变换 数域F上内积空间保长同构 上节回顾：酉变换 酉变换定义 正交变换 正交变换 正交变换 性质2 正交矩阵的特征值的绝对值等于1. 正交变换 性质3 正交矩阵的对应于不同特征的特征向量正交. 作业 Page294 9.4.2, 9.4.3 第五节 实对称矩阵相似对角化 特征值、特征向量 一. 实对称矩阵的特征值和特征向量 证明 一. 实对称矩阵的特征值和特征向量 作业 Page 252 1, 2, 3. * 数域F上内积空间V上的保内积变换 数域F上内积空间V上保长变换与保内积变换等价性 数域F上有限n维内积空间保长同构性质及判定方法 V≌ Fn 两有限维内积空间保长同构的充要条件维数相同。 复数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换 酉变换判定定理 定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 ⑴ U是一个酉变换; ⑶ ⑷ U把标准正交基变为标准正交基; ⑸ U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵. ⑵ 定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 1) U是一个酉变换; 3) 4) U把标准正交基变为标准正交基; 5) U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵. 2) 证明(续) 5) 1): 定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 1) U是一个酉变换; 3) 4) U把标准正交基变为标准正交基; 5) U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵. 2) 定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 1) U是一个酉变换; 3) 4) U把标准正交基变为标准正交基; 5) U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵. 2) 定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 1) U是一个酉变换; 3) 4) U把标准正交基变为标准正交基; 5) U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵. 2) 正交变换定义 实数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换 定理 O是n维欧氏空间V上的线性变换,则下列等价 1) O是一个正交变换; 3) 4) O把标准正交基变为标准正交基; 5) O在标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 2) 性质1 正交矩阵的行列式只可能为1或-1 . 正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换. 一. 实对称矩阵的特征值和特征向量 二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 A? = ?? (?E–A)? = 0 |?E–A| = 0 特征方程 (characteristic equation) |?E–A| = ?–a11 –a12 … –a1n –a21 ?–a22 … –a2n … … … … –an1 –an2 … ?–ann 特征多项式 (characteristic polynomial) ?E–A 特征矩阵 特征值 特征向量 定理1. 实对称矩阵的特征值均为实数. 定理2. 设?1, ?2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值, p1, p2是对应与它们的特征向量, 则p1与p2正交. 事实上, ?1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA, 于是(?1–?2) p1Tp2 = 0, 但是?1 ??2, 故p1Tp2 = 0. 从而?1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(?2p2) = ?2p1Tp2. 定理3. 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正交矩阵Q, 使得 Q –1AQ = ? = diag(?1, ?2, …, ?n), 其中?1, ?2, …, ?n为A的全部特征值,Q = (q1, q2, …, qn)的列向量组是A的对应于?1, ?2, …, ?n的标准正交特征向量. 求正交矩阵的一般步骤三步 ①求A的特征值-- ②求每个特征值的特征向量并化 为标准正交向量组--③写出正交阵Q与对角阵Λ 二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 §5实对称矩阵的相似对角化 例1. 把A = 正交相似对角化. 解: |?E–A| = (?–2)(?–4)2. 所以A的特征值为?1= 2, ?2= ?3= 4. (2E–A)x = 0的基础解系?1= (0,1, –1)T. (4E–A)x = 0的基础解系?2=(1, 0, 0)T, ?3=(0, 1, 1)T. 由于?1, ?2, ?3已经是正交的了, 将它们单位化即 可得 4