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第八章重积分教材资料.doc

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第八章 重积分 8.1 利用微元法解决不均匀量的求和问题 一、知识要点 1、利用微元法建立积分运算 (1)在几何形体上任取一个小范围,记为;在这个小范围上将不均匀分布的量 看成均匀的; (2)寻找所求量微元与的乘法关系,即; (3)将微元在上累加,即建立积分 二、例题精选 1、利用微元法建立积分,表述下面问题:一内径为4、外径为10的圆环,其任意一点的面密度与该点到圆环中心的距离成反比,已知圆环内圆周上的各点面密度皆为1,求圆环总质量. 解 ① 取圆环的中心为坐标原点,建立直角坐标系(如图8-1).设圆盘所在区域为,在圆盘上任意取面积微元,设为上的一点; ② 虽然圆盘上每一点的密度不同,但是在上可以将各点的密度看成相等的. ③ 所求量的微元与面积微元之间的关系为则 (点到原点的距离为); ④将质量微元在积分区域上累加得.其中 三、同步练习 1、利用微元法建立积分,表述下面问题:计算由曲面与所围立体的体积. 同步练习答案:1、,其中是由曲面与所围立体. 四、巩固练习 1、利用微元法建立积分,表述下面问题:求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量. 巩固练习答案: 1、,其中是由抛物线及直线所围成的区域. 8.2 二重积分的概念和性质 一、知识要点 1、二重积分的概念 设函数在区域上有界,将这种积分区域是平面区域的积分称为二重积分,记作.其中叫做被积函数,叫做积分表达式, 叫做面积元素,与叫做积分变量,叫做积分区域. 2、二重积分的几何意义 若,在几何上表示以平面区域为底面,曲面为顶的曲顶柱体的体积; 如果,表示以平面区域为底面,曲面为顶的曲顶柱体的体积的相反数. 如果函数在上有正有负, 在上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和. 3、二重积分的性质 设,均存在, (1)设为常数,则. (2). (3)对积分区域的可加性:设区域,且与除边界点外无公共部分, 则. (4)如果在区域上,,为区域的面积,则. (5)如果在区域上,,则有. (6). (7)设、分别为函数在闭区域上的最大值和最小值,为区域的面积,则有. (8)(二重积分中值定理)设函数在闭区域上连续,为区域的面积,则在区域上至少存在一点,使得. 二、例题精选 1、利用二重积分的性质估算积分值 =,其中 解 在区域(如图8-2):内,有 ,从而有 又有区域的面积为,所以有 2、利用二重积分的几何意义确定积分的值 ,其中: 解 曲顶柱体的底为圆盘,顶是下半圆锥面,故曲顶柱体为一底面半径及高均为的圆锥体,所以 3、设,其中:,;,其中:,试确定与的关系. 解 记:,,,由于区域关于轴对称,而被积函数关于是偶函数,所以有 同理,关于轴对称,又被积函数关于是偶函数,所以有 即有. 三、同步练习 1、利用二重积分的性质估算积分值 (1)=,其中: (2)=,其中 2、利用二重积分的几何意义确定积分的值 ,其中: 3、比较二重积分与的大小,其中积分区域由轴,轴及围成. 同步练习答案:1、(1) (2) 2、 3、 四、巩固练习 1、利用二重积分的性质估算积分值=,其中: 2、比较二重积分与的大小,其中积分区域:. 3、利用二重积分的几何意义确定积分的值,其中: 巩固练习答案: 1、 2、 3、曲顶柱体的底为圆盘,顶是上半球面,故曲顶柱体是以为半径的半球体,所以 8.3 直角坐标系下二重积分的计算 一、知识要点 1、若区域为—型,即:,则 2、若区域为—型,即:,则 二、例题精选 1、改变下列二次积分的积分次序 (1) (2) (3) 解 (1)积分区域见图8-3,表示成—型区域为 : 于是有 (2)积分区域见图8-4,表示成—型区域为 : 于是有 (3)积分区域见图8-5,表示成—型区域为 : 于是有 2、计算下列二重积分 (1),其中区域是曲线,及所围成的区域. (2),其中区域是曲线及所围成的区域. (3),其中区域:. 解 (1)积分区域如图8-6,找到,的变化范围 : 先对积分,再对积分 (2)积分区域如图8-7,找到,的变化范围 : 先对积分,再对积分 (3)积分区域如图8-8,记是区域在第一象限的部分 由于,记, 则 由于区域关于轴对称,

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