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第八章 重积分
8.1 利用微元法解决不均匀量的求和问题
一、知识要点
1、利用微元法建立积分运算
(1)在几何形体上任取一个小范围,记为;在这个小范围上将不均匀分布的量 看成均匀的;
(2)寻找所求量微元与的乘法关系,即;
(3)将微元在上累加,即建立积分
二、例题精选
1、利用微元法建立积分,表述下面问题:一内径为4、外径为10的圆环,其任意一点的面密度与该点到圆环中心的距离成反比,已知圆环内圆周上的各点面密度皆为1,求圆环总质量.
解 ① 取圆环的中心为坐标原点,建立直角坐标系(如图8-1).设圆盘所在区域为,在圆盘上任意取面积微元,设为上的一点;
② 虽然圆盘上每一点的密度不同,但是在上可以将各点的密度看成相等的.
③ 所求量的微元与面积微元之间的关系为则 (点到原点的距离为);
④将质量微元在积分区域上累加得.其中
三、同步练习
1、利用微元法建立积分,表述下面问题:计算由曲面与所围立体的体积.
同步练习答案:1、,其中是由曲面与所围立体.
四、巩固练习
1、利用微元法建立积分,表述下面问题:求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量.
巩固练习答案:
1、,其中是由抛物线及直线所围成的区域.
8.2 二重积分的概念和性质
一、知识要点
1、二重积分的概念
设函数在区域上有界,将这种积分区域是平面区域的积分称为二重积分,记作.其中叫做被积函数,叫做积分表达式, 叫做面积元素,与叫做积分变量,叫做积分区域.
2、二重积分的几何意义
若,在几何上表示以平面区域为底面,曲面为顶的曲顶柱体的体积;
如果,表示以平面区域为底面,曲面为顶的曲顶柱体的体积的相反数.
如果函数在上有正有负, 在上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和.
3、二重积分的性质
设,均存在,
(1)设为常数,则.
(2).
(3)对积分区域的可加性:设区域,且与除边界点外无公共部分, 则.
(4)如果在区域上,,为区域的面积,则.
(5)如果在区域上,,则有.
(6).
(7)设、分别为函数在闭区域上的最大值和最小值,为区域的面积,则有.
(8)(二重积分中值定理)设函数在闭区域上连续,为区域的面积,则在区域上至少存在一点,使得.
二、例题精选
1、利用二重积分的性质估算积分值
=,其中
解 在区域(如图8-2):内,有
,从而有
又有区域的面积为,所以有
2、利用二重积分的几何意义确定积分的值
,其中:
解 曲顶柱体的底为圆盘,顶是下半圆锥面,故曲顶柱体为一底面半径及高均为的圆锥体,所以
3、设,其中:,;,其中:,试确定与的关系.
解 记:,,,由于区域关于轴对称,而被积函数关于是偶函数,所以有
同理,关于轴对称,又被积函数关于是偶函数,所以有
即有.
三、同步练习
1、利用二重积分的性质估算积分值
(1)=,其中:
(2)=,其中
2、利用二重积分的几何意义确定积分的值
,其中:
3、比较二重积分与的大小,其中积分区域由轴,轴及围成.
同步练习答案:1、(1)
(2)
2、
3、
四、巩固练习
1、利用二重积分的性质估算积分值=,其中:
2、比较二重积分与的大小,其中积分区域:.
3、利用二重积分的几何意义确定积分的值,其中:
巩固练习答案:
1、
2、
3、曲顶柱体的底为圆盘,顶是上半球面,故曲顶柱体是以为半径的半球体,所以
8.3 直角坐标系下二重积分的计算
一、知识要点
1、若区域为—型,即:,则
2、若区域为—型,即:,则
二、例题精选
1、改变下列二次积分的积分次序
(1) (2)
(3)
解 (1)积分区域见图8-3,表示成—型区域为
:
于是有
(2)积分区域见图8-4,表示成—型区域为
:
于是有
(3)积分区域见图8-5,表示成—型区域为
:
于是有
2、计算下列二重积分
(1),其中区域是曲线,及所围成的区域.
(2),其中区域是曲线及所围成的区域.
(3),其中区域:.
解 (1)积分区域如图8-6,找到,的变化范围
:
先对积分,再对积分
(2)积分区域如图8-7,找到,的变化范围
:
先对积分,再对积分
(3)积分区域如图8-8,记是区域在第一象限的部分
由于,记,
则
由于区域关于轴对称,
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