第八章重积分教材资料.doc

第八章 重积分 8.1 利用微元法解决不均匀量的求和问题 一、知识要点 1、利用微元法建立积分运算 （1）在几何形体上任取一个小范围，记为；在这个小范围上将不均匀分布的量 看成均匀的； （2）寻找所求量微元与的乘法关系，即； （3）将微元在上累加，即建立积分 二、例题精选 1、利用微元法建立积分，表述下面问题：一内径为4、外径为10的圆环，其任意一点的面密度与该点到圆环中心的距离成反比，已知圆环内圆周上的各点面密度皆为1，求圆环总质量. 解 ① 取圆环的中心为坐标原点，建立直角坐标系（如图8-1）.设圆盘所在区域为，在圆盘上任意取面积微元，设为上的一点； ② 虽然圆盘上每一点的密度不同，但是在上可以将各点的密度看成相等的. ③ 所求量的微元与面积微元之间的关系为则 （点到原点的距离为）； ④将质量微元在积分区域上累加得.其中 三、同步练习 1、利用微元法建立积分，表述下面问题：计算由曲面与所围立体的体积. 同步练习答案：1、，其中是由曲面与所围立体. 四、巩固练习 1、利用微元法建立积分，表述下面问题：求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线的转动惯量. 巩固练习答案： 1、，其中是由抛物线及直线所围成的区域. 8.2 二重积分的概念和性质 一、知识要点 1、二重积分的概念 设函数在区域上有界，将这种积分区域是平面区域的积分称为二重积分，记作.其中叫做被积函数，叫做积分表达式， 叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域. 2、二重积分的几何意义 若，在几何上表示以平面区域为底面，曲面为顶的曲顶柱体的体积； 如果，表示以平面区域为底面，曲面为顶的曲顶柱体的体积的相反数. 如果函数在上有正有负， 在上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和. 3、二重积分的性质 设，均存在， （1）设为常数，则. （2）. （3）对积分区域的可加性：设区域，且与除边界点外无公共部分， 则. （4）如果在区域上，，为区域的面积，则. （5）如果在区域上，，则有. （6）. （7）设、分别为函数在闭区域上的最大值和最小值，为区域的面积，则有. （8）（二重积分中值定理）设函数在闭区域上连续，为区域的面积，则在区域上至少存在一点，使得. 二、例题精选 1、利用二重积分的性质估算积分值 =，其中 解 在区域（如图8-2）：内，有 ,从而有 又有区域的面积为，所以有 2、利用二重积分的几何意义确定积分的值 ，其中： 解 曲顶柱体的底为圆盘，顶是下半圆锥面，故曲顶柱体为一底面半径及高均为的圆锥体，所以 3、设，其中：，；，其中：，试确定与的关系. 解 记：，，，由于区域关于轴对称，而被积函数关于是偶函数，所以有 同理，关于轴对称，又被积函数关于是偶函数，所以有 即有. 三、同步练习 1、利用二重积分的性质估算积分值 （1）=，其中： （2）=，其中 2、利用二重积分的几何意义确定积分的值 ，其中： 3、比较二重积分与的大小，其中积分区域由轴，轴及围成. 同步练习答案：1、（1） （2） 2、 3、 四、巩固练习 1、利用二重积分的性质估算积分值=，其中： 2、比较二重积分与的大小，其中积分区域：. 3、利用二重积分的几何意义确定积分的值，其中： 巩固练习答案： 1、 2、 3、曲顶柱体的底为圆盘，顶是上半球面，故曲顶柱体是以为半径的半球体，所以 8.3 直角坐标系下二重积分的计算 一、知识要点 1、若区域为—型，即：，则 2、若区域为—型，即：，则 二、例题精选 1、改变下列二次积分的积分次序 （1） （2） （3） 解 （1）积分区域见图8-3，表示成—型区域为 ： 于是有 （2）积分区域见图8-4，表示成—型区域为 ： 于是有 （3）积分区域见图8-5，表示成—型区域为 ： 于是有 2、计算下列二重积分 （1），其中区域是曲线，及所围成的区域. （2），其中区域是曲线及所围成的区域. （3），其中区域：. 解 （1）积分区域如图8-6，找到，的变化范围 ： 先对积分，再对积分 （2）积分区域如图8-7，找到，的变化范围 ： 先对积分，再对积分 （3）积分区域如图8-8，记是区域在第一象限的部分 由于，记， 则 由于区域关于轴对称，