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* 数学基础 一. 场论基本运算知识 1.算子 张量表示 张量表示 直角坐标系中 直角坐标系中 ⑴ 哈密尔顿算子 （矢量） ⑵ 拉普拉斯算子 （标量） 数学基础 2. 场论 若对应于某一几何空间或某一部分几何空间中的每一点都对应着物理量的一个确定的值，就称为在这个空间上（或这个部分空间上）确定了该物理量的一个“场”。若物理量为标量，则为标量场，如：密度场，温度场等；若物理量为矢量，则为矢量场，如：应力场，应变场等。不讨论各种场的物理内容，只从数学上研究场的一般规律的学科，称为场论。 （1）标量场的梯度（gradient）： 梯度是这样的一个量，其方向即标量场 变化率最大的方向，其大小则为这个最大变化率的数值。它是标量场不均匀性的度量，记为: 标量场 中任意点M，过M点的任意方向 ，在 上某点 ， 若极限 存在，称之为标量场 在M点处沿 方向的变化率，过M点所有可能方向中，存在一个 的变化率最大的方向。 M *梯度场性质： ① 梯度 描写了场内任一点M邻域内函数 的变化状况，是标量场不均匀性的度量； ② 的方向与等位面的法向重合，且指向 增长的方向，大小是 方向上的方向导数 ； ③ 矢量在任一方向S上的投影等于该方向的方向导数； ④ 的方向即等位面的法向是函数 变化最快的方向； ⑤ 在直角坐标中的表达式： *物理量沿任一方向（其单位矢量为 ）的变化率为 *梯度的基本运算法则有 （2）向量场的散度（divergence） *散度的基本运算法则为： 散度为矢量 通过界面 的通量并除以微元体积 。 向量场 中任一点M，包围M作体积 ，其表面积 ，若极限 存在，称为矢量场 在M点处的散度。 *直角坐标系中，若 无源场性质： （2）矢量管不能在场内发生或终止； * 的场称为无源场（管式场） （1）无源矢量 经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值； （3）无源矢量 经过张于一已知周线L的所有曲面S上的通量均相同，即此通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。 （3）矢量场的旋度（curl） 旋度是这样一个矢量，其方向即环量面密度最大的方向，其大小即为这个最大的环量面密度的值，记为 沿曲线L的环量为： *矢量 场 中任一点M，过M点任一方向 ，以 为法向作一微面积 ，其边为 。若极限 存在，称为矢量场 在M点处沿 方向上的环量面密度。过M点的方向中存在一个环量面密度最大的方向。 M *直角坐标系中， *旋度的基本运算法则为： —— 无旋场 性质：无旋场等价于有势场。 即 （4）高斯公式（将体积分与面积分联系） *推广的高斯公式还可写为： 令V为一个由封闭面积所包围的体积。考虑一个无穷小面元dS，其外法向为 ，令 表示一个标量场或矢量场、张量场，则高斯公式 只要把体积分中的算子 换成法向单位矢量 即是面积分的被积函数。 及 数学基础 二.张量 1. 标量、矢量和张量 标量——是一维的量，它只需1个数及单位来表示，如温度、密度。 矢量——则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由某一空 间坐标系的 3 个坐标轴方向的分量来表示，因此矢量是三维的量。 张量—— 三维空间中的二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才 可完整的表示，如应力分量，应变率分量。 三维空间中的 n 阶张量由 3n 个分量组成。 标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。 2. 指标表示法和符号约定 (1) 指标表示法 也可表示为， i 是自由指标，可取1、2、3。 x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， 而三个单位矢量 分别计