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数据拟合方法 Approximation Theory 引例 问题的提出 线性最小二乘问题的存在与唯一 拟合模型的正规方程 非线性曲线拟合 拟合与插值比较 引例 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下 表是实际测定的24个纤维样品的强度与拉伸倍数的记录。 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座标纸上标出各点，可以发现什么? 从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系，可用一条直线来表示两者之间的关系。 解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令  为最小 ，即求使 有最小值的a和b的值。 计算出它的正规方程得 解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x 曲线拟合的最小二乘法 最小二乘原理 当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 在数据点 处的偏差,即 (i=1,2,…,m) 严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和 最小,此即称为最小二乘原理 ?最小二乘法的求法 ?最小二乘法的几种特例 例 题 三 拟合模型的正规方程 关于拟合模型必须能反映离散点分布基本特征。 常选取?是拟合模型，既?所属函数类为 M =Span{? 0，?1，… ?n}， 其中 ? 0，?1，… ?n 是线性无关的基函数 m 于是 ?（x）= ?c j ?j（x） j=0 通常选取每个?j是次数?j的简单多项式，即M 是次 数 ? n 的n次多项式空间。 取 ?j（x）=x j ， j=0，1，…，n M =Span{1 ,x , x2，…，x n}， 从而?（x）= C0 +C1 x1 + …+ C n x n =Pn(x) 四拟合模型举例 表中提供离散数据（x i ， y i），（0?i?4） 试用二次多项式进行拟合. i xi yi ?*（xi） yi - ?*（xi） 0 0 1.0000 1.0052 -0.0052 1 0.25 1.2840 1.2740 0.0100 2 0.50 1.6487 1.6482 0.0005 3 0.75 2.1170 2.1279 -0.0109 4 1.00 2.7183 2.7130 0.0053 五 非线性曲线的拟合 由上述我 们已经知到上述模型实际上是最小二乘法的推广，实际上也就是多项式逼近函数的问题。它不仅可以解决一元问题还可用于多元问题。除此外还可求解某些非线性问题。求解方法是将其通过一定的代数变换转换为可用线性模型求解的问题。 比如对方程 y=a e b x 取对数，得l n y=l n a+b x， 令 Y=lny, A= l n a, B=b 则问题转化为解 Y=A+Bx的线性问题。 类似的再如，对y=a+ b/ x拟和可对此方程取倒数，则新变量1/y于x成线性关系。 六最小二乘法方法评注 最小二乘法方曲线拟和是实验数据处理的常用方法。最佳平方逼近可以在一个区间上比较均匀的逼近函数且具有方法简单易行，实效性大，应用广泛等特点。但当正规方程阶数较高时，往往出现病态。因