《数学物理方法》课件_第四章.ppt

* 第四章 留数理论 一、奇点分类（单值函数） 1、孤立奇点 定义：函数f(z)在z=z0不解析，在0|z-z0|ρ内解析， 则z=z0是函数f(z)的一个孤立奇点。 例如：f(z)=ez/(z-3)，z=3是孤立奇点。 若在z=z0的无论多小的邻域内，总有z=z0之外的奇点， 则z=z0是f(z)的非孤立奇点。 例如：f(z)=1/sin(1/z)，z=0是它的非孤立奇点。 可以无限接近z=0 2、孤立奇点的分类 若z0是f(z)的一个孤立奇点,则由Laurent定理，f(z)在 0|z-z0|ρ圆环域可以展为Laurent级数， (1)可去奇点（不含负幂项） ①定义Ⅰ：如果 （A为有限的确定常数）， 则z=z0是函数f(z)的可去奇点。 因为 所以f(z)的Laurent级数展开式中肯定 不含负幂项。 由于z=z0是f(z)的奇点，故f(z0)无确定值。 如果定义f(z0)=a0，即可将f(z)在z=z0点的奇性去掉。 f(z) 可展为Taylor级数 ②定义Ⅱ：函数f(z)以孤立奇点z0为中心展为Laurent级数， 若级数的主要部分不存在时，z=z0是可去奇点。 例：f(z)=sinz/z 方法一：z=0时，f(z)无意义，以z=0为中心，在|z|0区域 的Laurent级数展开式为： f(z)的Laurent级数中不含负次幂级数，z=0是f(z)的 可去奇点。 方法二： z=0是f(z)=sinz/z的可去奇点。 ③设z0是f(z)的孤立奇点，则z0是f(z)的可去奇点的充分必 要条件是： （有限） （2）极点（含有限个负幂项） 若 ，z=z0是函数f(z)的极点。 将f(z)以z0为中心，在0|z-z0|ρ区域展为Laurent级数， 如果级数的主要部分只有有限的m项， 即主要部分为： a-m≠0。则m为极点的阶； a-1是函数在极点z0处的留数，表示为：Res f(z0)= a-1。 （3）本性奇点（含无限多个负幂项） 不确定。 f(z)以z0为中心展为Laurent级数，若级数含有无限多个 负幂项，则z0是f(z)的本性奇点。此时， （4）无穷远点 函数在ρ|z-z0|∞内解析，则无穷远点为函数的孤立奇点。 令z=1/t，f(z)=f(1/t)=g(t)， f(z)在z=∞的邻域内的Laurent展开转化为g(t)在t=0的邻域 里的Laurent展开。 g(t)在t=0的邻域的Laurent展开式中含有有限个负幂项， 最低次幂为-m，即 ②极点： （含有限多个正幂项） ①如果 （A为有限的确定常数）， 则z=∞是函数f(z)的可去奇点， t=0也为g(t)可去奇点。 ③本性奇点 不确定（含无限个正幂项） 二、留数定理 1、留数定理： ①若在回路l包围的区域中，f(z)只有孤立奇点z0，则 ②若在回路l所包围区域中f(z)有有限个孤立奇点 z1,z2,…,zk。则 证明：①z0是f(z)的孤立奇点，在z0的去心邻域内可以展 为Laurent级数， 0|z-z0|ρ 设l是在区域0|z-z0|ρ中包围z0点的 任一闭路。 ②由Cauchy定理 2、无限远点的留数 在无限远点去心邻域ρ|z-z0|∞中（f(z)所有有限远奇点 均在|z|=ρ内），f(z)展为Laurent级数， （a-1是函数在奇点处的留数）。 Res f(∞)=- a-1 3、f(z)在全平面上有有限个奇点，则所有点的留数之和 为0 证明：设f(z)的所有有限远奇点均在l内， 三、留数的计算规则 1、基本方法 函数f(z)在z0点的留数等于f(z)在z0点的罗朗展开的负一次 幂(z-z0)-1的系数，Res f(z0)= a-1，显然，可去奇点的留数 为0。 例:求sin(1/z)在z=0点的留数 2、一阶极点的留数 z0为f(z)的一阶极点，则 证明：因为z0为f(z)的一阶极点， 例：计算f(z)=1/sinz在z=0处的留数。 解：∵z=0是f(z)的一阶极点。 例：求函数f(z)=1/(z-1)在z=1和z=∞点的留数。 解：z=1是f(z)的1阶极点， 因为在全平面内，留数之和为0 所以，Resf(1)+ Resf(∞)=0= Resf(∞)=- Resf(1)=-1 3、极点的留数求法 函数极点的阶数 设z0是f(z)的孤立奇点，则z0是f(z)的m阶极点的充要条件 是：f(z)在某环域内可以表示为： φ(z)在z0解析，且φ(z0)≠0。 证明： a)必要性 z0是f(z)的m阶极点，故在某环