共点圆共圆点1018-1-第六届旺宏科学奖.PDF

第六屆旺宏科學獎 成果報告書 參賽編號：SA6-144 作品名稱：共點圓 共圓點 姓名：陳凱傑 關鍵字：限制圓、限制點、完全四邊形 1 共點圓、共圓點 一、研究動機： 在一場關於幾何的演講中，我聽到了一個非常有趣的東西。那就是四條兩兩交 一點直線(不存在有三線交一點、不存在有平行線組) ，所有任三條直線構成的三角 形其外接圓相交於一點，於是便繼續觀察五條直線，是否有某種特別的性質。 二、研究目的： 觀察知道在完全四邊形 (Complete Quadrilateral中，四個三角形的外接圓會共點) P ，我稱其為限制點(Restricted Point) 。而將其推廣至多條兩兩交一點直線(不存在 有三線交一點、不存在有平行線組 ) 。加入新的一條直線，找尋任意完全四邊形的 限制點 P ，再度形成四個不同的完全四邊形的限制點，而這些點發現其又會共圓， 稱其為一限制圓 (Restricted Circle) 。而再加入新的一條直線，找尋所有的限制圓， 又發現會共點。本篇報告的目的在探究這種關係，並試圖加以證明。 2 三、研究過程： (一) 定義 (1)符號之意義 n(G)為 G 集合的元素個數；G 表示為 G的補集 (S−G) 。 (2) 完全四邊形 Complete Quadrilateral 四條相異的兩兩交一點直線，任三線不交於一點、不存在有平行線組， 如圖(一) ，而由所有相交的六點所決定的便是完全四邊形。 圖 (一) (3)限制點及限制圓 Restricted Point Restricted Circle 直線數用 n 表示，n ≥4 。 藉由觀察可以發現在完全四邊形中，任三條直線構成的三角形，有 C4 4個三角形，其外接圓有共點 P ，稱此點P 為 n=4的限制點。 3 4 4 若再加入新的一條直線，不存在有三線交一點 、不存在有平行線組的情 況，即 n=5 ，根據上述的說明，任四條直線可決定一個限制點，所以有 C5 5個限制點，若此 5個限制點會共圓，稱此圓 C 為 n=5的限制圓。 4 5 所以定義： n ∈N ，n ≥4 1 ○ 當 n 為偶數，若存在有限制圓 Cn-1 ，且n個限制圓共一點，則稱此共 點為限制點 Pn 。 2當 n 為奇數，若存在有限制點 P ，且n個限制點共一圓，則稱此共 ○ n-1 圓為限制圓 Cn 。 (4) n ∈N ，n ≥4時， n條直線內，小於 n的直線數的限制點及限制圓 有 n條直線，將直線編號從 1 至 n ，令S={1,2…n}={a m ≠s,a ≠a } 。 i m s 若已知所有小於 n的直線數都有限制點或限制圓。 由 G的直線決定。 ∀k ,i ∈N ,i ≤n ， n(G)=j ，j n 。當一個限制圓C