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初等变换与QR分解
初等变换与QR 分解
1.1 QR 分解
QR 分解将一个矩阵分解一个正交矩阵(酉矩阵) 和一个三角矩阵的乘积. QR 分解被广泛应
用于线性最小二乘问题的求解和矩阵特征值的计算.
1.1.1 QR 分解的存在唯一性
定理1.1(QR分解) 设 ( ). 则存在一个单位列正交矩阵 (即
) 和一个上三角矩阵 , 使得
(1.1)
若 列满秩, 则存在一个具有正对角线元素的上三角矩阵 使得(1.1) 成立, 且此时QR 分解唯
一, 即 和 都唯一.
证明. 设 . 若 列满秩, 即 . 则QR 分解(1.1) 就是对 的
列向量组进行Gram-Schmidt 正交化过程的矩阵描述(见算法1.1).
算法1.1Gram-SchmidtProcess
1: ∥ ∥
2:
3: for to do
4:
5: for to do
6: % 表示共轭转置
7:
8: endfor
9: ∥ ∥
10:
11: endfor
如果 不是列满秩, 我们可以做类似的正交化过程, 具体实现可以参见相关资料.
下面证明满秩矩阵QR 分解的存在唯一性.
存在性: 由于 列满秩, 由Gram-Schmidt 正交化过程 (算法 1.1) 可知, 存在上三角矩阵
满足 , 使得 , 其中 单位列正交.
唯一性: 假设 存在QR 分解
1
2 Chapter 初等变换与QR 分解
其中 单位列正交, 为具有正对角元素的上三角矩阵. 则有
(1.2)
由于 均为上三角矩阵, 所以 也是上三角矩阵, 且其对角线元素为 ,
. 由(1.2) 可得
∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥
所以
同理可证 . 所以
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