第三节向量的代数表示.ppt

* 第三节 向量的代数表示 一、向量的坐标表示式 二、向量在轴上的投影 三、向量线性运算的代数表示 四、向量的模与方向余弦的代数表示 一、向量的坐标表示式 任给空间一点M，总可以唯一确定一个向量OM,空间的点与始点在原点的向量有一一对应关系，通常向量OM可称为点M对点O的向径，设点M的坐标为(x,y,z)，即 OA=x，Ob=y，OC=z， 由向量的加法法则可知 OM=OA+AP+PM =OA+OB+OC. 如果分别取三个以坐标轴正向为其方向的单位向量，并依次记为i，j，k，称其为基本单位向量.由向量的数与向量乘法运算可知 OA=xi，OB=yj，OC=zk. 常称(1)式为向量OM的坐标表示式或向量在坐标轴上的分解.也常记为 OM=(x,y,z). (2) 称它们为向量OM在三个坐标轴上的分向量.可以记为 OM=xi+yj+zk， (1) 二、向量在轴上的投影 若给定一轴u及轴外一点A，过点A引出与轴u垂直的平面π，设轴u与平面π的交点为 ，则称 为点A在轴u上的投影. 若给定向量AB及轴u，设 分别为点A，B在轴u上的投影，则称 为向量AB在轴u上的投影，记作 PrjuAB= . 若轴u1与u2相交于点O，将其中任一轴绕点O在两轴所决定的平面上旋转，使其正向与另一轴正向重合所确定的角度，定义为这两轴的夹角.通常规定二轴间夹角限定在0与π之间，且不分轴的顺序. 若轴u1与u2不相交，在空间任取一点O，自点O引出分别与轴u1,u2有相同方向的轴 .定义 之间的夹角为u1与u2 的夹角. 若给定空间轴u与向量a，任意引出一条与a的方向相同的轴 ，则定义轴u与 间的夹角为向量a与轴u间的夹角. 相仿，给定两个向量a，b.可引出两轴u1，u2，使它们的方向分别与a，b的方向相同，则 定义u1与u2间的夹角即为向量a与b间的夹角.记为(a,b). 向量在轴上的投影有以下性质： 性质1 ,其中 为轴u与AB间的夹角. 性质2 有限个向量的和在任何给定轴上的投影等于各向量在该轴上投影之和.即 Prju(a+b+¨¨+e)= Prjua+ Prjub+ ¨¨+Prjue. 三、向量线性运算的代数表示 若向量OM=(x,y,z)，则可知向量OM在x轴，y轴，z轴上的投影依次为x，y，z.因此又称向量OM在三条坐标轴上的投影x，y，z为向量OM的坐标. 利用向量的坐标及投影的性质，可以将向量的线性运算代数化. 设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，即 则 例1 已知a=i–j+2k，b=3i+j–k，求2a+3b，2a–3b，并求2a–3b在x轴上的投影及分向量. 解 由于a=i–j+2k，b=3i+j–k，可知 2a=2i–2j+4k，3b=9i+3j–3k， 2a+3b=(2+9)i+(–2+3)j+(4–3)k=11i+j+k， 2a–3b=(2–9)i+(–2–3)j+[4–(–3)]k= –7i–5j+7k. 可知2a-3b在x轴上的投影为–7，分向量为– 7i. 四、向量的模与方向余弦的代数表示 若点M的坐标为(x,y,z)，则 即向量OM的模等于其坐标平方和的算术平方根. * *