第三章：多维随机变量与其分布.doc

思考题： 设随机变量X与Y相互独立，且有相同的概率分布，记，，其中为常数，求U与V相关系数。 假设发生在特定期间内的事件的个数是以为参数的泊松随机变量.如果每一事件相互独立地被归类，它被归入第类的概率为.试证发生第类事件的个数是以为参数的独立泊松随机变量，. 给出一个用蒲丰投针问题估计值的算法.令人惊奇的是，这曾一度是计算值的通用方法. 当时，解蒲丰投针问题. 答案：其中满足. 设和是独立的连续型随机变量，试用和的密度函数表示的密度函数.对和都是指数随机变量的特殊情形，计算上述表示式. 用分析方法（归纳法）证明，当是独立同分布的几何随机变量时，具有负二项分布.并且给出不需要任何计算的另一种证法. 7．（a）是参数为的伽玛分布，求的分布是什么？ （b）证明 是参数为的伽玛分布，是整数，是自由度为的卡方随机变量. 8．的独立的连续型随机变量，失效率为， 对定义的求的分布函数 证明的危险率函数为 9． 是独立的指数随机变量，有共同的参数，计算 的分布. 10． 电池的寿命是独立的指数随机变量，参数为.一个手电筒需要两节电池才能工作.如果一个人有一个手电筒，节电池，那么电池工作时间的分布是什么？ 11．是独立的连续随机变量，有共同的分布函数和密度函数，记 （a）证明，不依赖于 提示：把作为5维的积分，然后改变变量 （b）计算 （c）给出（b）的直观的解释. 12．证明联合连续（离散）的随机变量是独立的充要条件是它们的联合概率密度函数可以写成 其中 是非负函数. 13．在例5c中，我们计算了次试验中，有次成功的条件密度.如果对指定次成功的试验，条件密度会改变吗？ 14．是独立的几何随机变量，有共同的参数 不进行任何计算的前提下，考虑下式的值 提示：假如连续掷一硬币，出现正面的概率为，如果第二次正面在第次出现.求出现第一次正面出现时抛的次数的概率质量函数. 证明在（a）中的推测 15．是独立的参数为，的二项随机变量，证明在的条件下，的条件分布是超几何分布.同样，不进行任何计算的情况下给出第二个讨论. 提示：假定抛枚硬币.表示前次中正面出现的次数，表示接下来次中正面出现的次数.假定出现次正面，在前次出现正面的次数与在个白球，个黑球中抽取个球出现白球数的分布相同. 16．考虑一个试验可能出现3种结果中的一种，结果出现的概率为，假定进行次重复的试验，表示出现的次数.求在给定的条件下，的条件质量函数. 17．是独立同分布的连续随机变量，计算 18．表示均匀分布上的随机变量，在下面给定的条件下，计算的条件分布. （a） （b） 其中 19.在特定的一天里，空气湿度是参数为的伽玛随机变量.密度函数.假定在给定条件下，在那天的事件数----称为，服从均值为的泊松分布.证明在给定的条件下是参数为 的伽玛分布. 20．是参数为的伽玛随机变量，假定在条件下，是参数为的独立指数随机变量.证明在给定条件下，是参数为的伽玛随机变量. 21．一个矩阵有个数，行列.如果一个数是行中的最小值，列中的最大值，那么这点被称为是鞍点.比如，如下排列 则第一行，第一列中的1就是鞍点.鞍点的存在性在游戏的理论中是非常重要的.考虑一个如前所示的矩阵，假设有两个人----A和B进行如下的游戏：A从中选择一个数，B从中选择一个数.这些选择同时进行，如果A选择了，B选择了，那么A胜B的次数由第行，第列决定.现在假定这个矩阵有鞍点----第行，第列的数----记为. 如果A选择了第行，那么可以保证他胜的次数最小为（因为是第行的最小值），另一方面，如果B选择了第列，那么他赢的次数不会超过（是第列的最大值）.因此A有了一种方法，可以保证他有至少赢次，B也有了一种方法保证他最多输次，因此这两个战略是最佳的，A玩游戏的次数为，理由是充分的的. 如果个数所组成的矩阵是从任意一个连续型分布里独立的取值，那么结果中包含一个鞍点的概率是多少？ 22．称随机变量有二维正态分布，如果它们的联合密度函数为 （a）试证明已知条件下，的条件密度函数是以 和 为参数的正态密度函数. （b）试证都是随机变量，其参数分别为 （c）证明当时，独立. 23．设为分布函数.证明当为正整数时， （a），（b）也是分布函数 提示：令为独立的随机变量，有相同的分布函数，用定义随机变量，使得 24．设个人随机地分布在一条长为英里的路上，证明当时，没有两个人彼此相距小于英里的概率等于，如果呢？ 25．通过微分（6.4）来证明（6.2）式. 26．设一个容量的样本取自上的均匀分布，证明其中位数有以为参数的贝塔分布. 27．证明（6.6）式给出了的联合密