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有限差分法
波动方程式的差分法（线性双曲线方程）
即前进波波动方程（又称为移动方程或传递方程：convection equation）
（ 3 1 ）
（ 3 2 ）
从此方程的差分求解方式分析常用的差分形式和稳定性条件。
理论解：
物理意义：波形保守不变，位置随时间以速度c前进。（前进波）
f(x) c f(x-ct)
ct
（ 3 3 ）
（ 3 4 ）
其中：
（ 3 5 ）
例：
（ 3 6 ）
即 （ 3 7 ）
其解为： （ 3 8 ）
显式法
对于发展型问题而言，当某一程度上的数值解已知，求解下一程度的数值解时，如未知的相只要一个，称为显式法（explicit time integration method）。
FTCS（Forward in Time and Central Difference in Space）方法
（ 3 9 ）
则能产生：
（ 3 10 ）
变形后:
（ 3 11 ）
这儿，( 为Courant 数。
（ 3 12 ）
Courant 数表示物理的传播速度c和数值传播速度((x/(t)的比值。
该解的特性如图的三角形所示，的值由和所确定。当比值(x/(t保持一致时，不管(x和(t取多小，其影响的范围是一样的。
当物理传播速度c比数值传播速度大的话，用此方法无法得到下一步长的物理特性。(如图绿线所示)，也即，当数值的影响领域无法包括物理特性领域，数值方法将不安定。1928年Courant、Friedrich、Lewy因此而提出了所谓Courant条件。
FTCS法的解的发展
即Courant 条件为（CFL条件）
（ 3 13 ）
但是波动方程不能由此方法判别的例子有：
（ 3 14 ）
此问题有理论解，如图。例如，(＝0.5时，时间步长为1/2(x。
解析解 FTCS的解
表1 FTCS的解 （(＝0.5）
xj-2 xj-1 xj xj+1 xj+2 t=0 1 1 0 0 0 t=1 1 5/4 1/4 0 0 t=2 15/16 23/16 9/16 0 0 t=3 53/64 49/32 75/64 13/64 0
其值是振荡不稳定的。随着时间的延续，振幅增加，甚至在正负值间振荡。此问题可从分析其差分方程的Fourior展开来分析。因此类展开可与频率振幅相角等相关。
设FTCS格式的解的展开的某一分项为：
（ 3 15 ）
gj表示幅度， (为与波数有关的相位角。定义一个时间步长前后的解的幅度比为振幅，用(表示。则令它可用振幅(((和相位差(来表示：
（ 3 16 ）
但(((偏离真实解时，振幅产生误差。(偏离真实解时表示该波数代表的波不能以正确的速度移动。
对于线性双曲波动问题，其理论解的振幅和某一波段上的相位差为
（ 3 17 ）
且u可空间时间分离变量：即g为时间的变量。代入FTCS格式：
（ 3 18 ）
其振幅为：
（ 3 19 ）
可见，无论是振幅还是相位都偏离真实解。尤其是振幅，它始终保持(((1，这说明随时间的发展，差分方程的解的幅度会无限制变大。这种不稳定称为Von Neumann不稳定。
FTCS方法的不稳定也可从物理上理解。此差分的Tayor展开为
（ 3 20 ）
代入波动方程
（ 3 21 ）
可见其截断误差的第一项为负的扩散值。负的扩散项从物理上是不稳定的。
Lax
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