《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解任意角及弧度制及任意角的三角函数(含解析).doc

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第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 [知识能否忆起] 1.任意角 (1)角的分类: 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角: 终边与角α相同的角可写成α+k·360°(kZ). (3)弧度制: 1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=,l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径. 用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关,仅与角的大小有关. 弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. 弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S扇形=lr=|α|r2. 2.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P(x,y),那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sin α=y,cos α=x,tan α=,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知,点P的坐标为(cos_α,sin_α),即P(cos_α,sin_α),其中cos α=OM,sin α=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则tan α=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 [小题能否全取] 1.-870°的终边在第几象限(  ) A.一          B.二 C.三 D.四 解析:选C 因-870°=-2×360°-150°.-150°是第三象限角. 2.已知角α的终边经过点(,-1),则角α的最小正值是(  ) A. B. C. D. 解析:选B sin α==-,且α的终边在第四象限, α=π. 3.(教材习题改编)若sin α0且tan α0,则α是(  ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:选C 由sin α0,知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上,由tan α0,知α在第一或第三象限,因此α在第三象限. 4.若点P在角的终边上,且P的坐标为(-1,y),则y等于________. 解析:因tan=-=-y,y=. 答案: 5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为________,面积为________. 解析:弧长l=3π,圆心角α=π, 由弧长公式l=α·r得r===4,面积S=lr=6π. 答案:4 6π   1.对任意角的理解 (1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°~90°的角”不等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是{α|0°α90°},第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°+90°,kZ}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角函数值相等. 2.三角函数定义的理解 三角函数的定义中,当P(x,y)是单位圆上的点时有sin α=y,cos α=x,tan α=,但若不是单位圆时,如圆的半径为r,则sin α=,cos α=,tan α=. 角的集合表示及象限角的判定 典题导入 [例1] 已知角α=45°, (1)在-720°~0°范围内找出所有与角α终边相同的角β; (2)设集合M=, N=,判断两集合的关系. [自主解答] (1)所有与角α有相同终边的角可表示为: β=45°+k×360°(kZ), 则令-720°≤45°+k×360°0°, 得-765°≤k×360°-45°,解得-≤k-, 从而k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°. (2)因为M={x|x=(2k+1)×45°,kZ}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合; 而集合N={x|x=(k+1)×45°,kZ}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而:MN. 由题悟法 1.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角. 2.已知角α的终边位置,确定形如kα,π±α等形式的角终边的方法:先表示角α的范围,再写出kα、π±α等形式的角范围,然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置. 以题试法 1.(1)给出下列四个命题: -是第二象限角;是第三象限角;-400°是第四角限角;-315°是第一象限角.其中正确的

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