《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解任意角及弧度制及任意角的三角函数(含解析).doc

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 [知识能否忆起] 1．任意角 (1)角的分类： 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(kZ)． (3)弧度制： 1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． 用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关． 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2. 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义： 设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． (2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 [小题能否全取] 1．－870°的终边在第几象限(　　) A．一　　　　　　　　　　B．二 C．三 D．四 解析：选C　因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角． 2．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是(　　) A. B. C. D. 解析：选B　sin α＝＝－，且α的终边在第四象限， α＝π. 3．(教材习题改编)若sin α0且tan α0，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选C　由sin α0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tan α0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限． 4．若点P在角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于________． 解析：因tan＝－＝－y，y＝. 答案： 5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________． 解析：弧长l＝3π，圆心角α＝π， 由弧长公式l＝α·r得r＝＝＝4，面积S＝lr＝6π. 答案：4　6π 　　1.对任意角的理解 (1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°＋90°，kZ}． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等． 2．三角函数定义的理解 三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝. 角的集合表示及象限角的判定 典题导入 [例1]　已知角α＝45°， (1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； (2)设集合M＝， N＝，判断两集合的关系． [自主解答]　(1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(kZ)， 则令－720°≤45°＋k×360°0°， 得－765°≤k×360°－45°，解得－≤k－， 从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. (2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，kZ}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，kZ}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN. 由题悟法 1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． 2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置． 以题试法 1．(1)给出下列四个命题： －是第二象限角；是第三象限角；－400°是第四角限角；－315°是第一象限角．其中正确的