数值分析第三讲 线性方程组的迭代法.ppt

定理9 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。 例 6 考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代 法解线性方程组Ax=b的收敛性，其中 解： 先计算迭代矩阵 求特征值 雅可比矩阵 ? ( B ) = 0 1 ∴用雅可比迭代法求解时，迭代过程收敛 ?1=0,?2 =2,?3 =2 ?(G1)=21 ∴用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程发散 高斯-塞德尔迭代矩阵 求特征值 当时?a?1时,Jacobi矩阵??GJ??∞1,对初值x(0)均收敛 例7 设 方程组 写出解方程组的Jacobi迭代公式和迭代矩阵 并讨论迭代收敛的条件。 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵,并讨 论迭代收敛的条件。 解 ① Jacobi迭代公式和Jacobi矩阵分别为 例 7设 方程组 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵，并讨论 迭代收敛的条件。 解 ② Gauss-Seidel矩阵为 当时?a?1时, Gauss-Seidel矩阵 ??Gs??∞1, 所以对任意初值x(0)均收敛。 也可用矩阵的谱半径p(GS)1来讨论 解： 先计算迭代矩阵 例8 讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代 法解线性方程组Ax=b的收敛性。 求特征值 雅可比矩阵 ? ( B ) = 1 ∴用雅可比迭代法求解时，迭代过程不收敛 ?1 = - 1， ?2,3 = 1/2 求特征值 高斯-塞德尔迭代矩阵 ? (G1) = 0.3536 1 ∴用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程收敛 ?1=0, 求解AX=b,当?取何值时迭代收敛？ 解:所给迭代公式的迭代矩阵为 例9 给定线性方程组 AX= b 用迭代公式 X(K+1)=X(K)+?(b-AX(K)) (k=0,1,…） 即 ?2-(2-5 ?)?+1- 5 ?+4 ?2=0 ?2-(2-5 ?)?+(1- ? )(1-4?)=0 [?-(1-?)][?- (1-4?)]=0 ?1=1-? ?2=1-4? ?(B)=max{|1- ?|, |1-4?|}1 取0 ?1/2迭代收敛 本章小结 本章介绍了解线性方程组 迭代法的 一些基本理论和具体方法。迭代法是一种逐次逼 近的方法，即对任意给定的初始近似解向量，按 照某种方法逐步生成近似解序列，使解序列的极 限为方程组的解。注意到在使用迭代法 解方程组时，其迭代矩阵B和迭代向量f在计算过 程中始终不变,迭代法具有循环的计算公式,方法 简单，程序实现方便，它的优点是能充分利用系 数的稀疏性,适宜解大型稀疏系数矩阵的方程组。 迭代法不存在误差累积问题。使用迭代法的 关键问题是其收敛性与收敛速度，收敛性与迭代 初值的选取无关，这是比一般非线性方程求根的 优越之处。在实际计算中，判断一种迭代格式收 敛性较麻烦，由于求迭代的谱半径时需要求特征 值，当矩阵的阶数较大时，特征值不易求出，通 常采用矩阵的任一种范数都小于1或对角占优来判 断收敛性。有时也可边计算边观察其收敛性。如 何加快迭代过程的收敛速度是一个很重要的问题 ，实用中更多的采用SOR法，选择适当的松驰因子 ω有赖于实际经验。我们应针对不同的实际问题 ，采用适当的数值算法。 我们知道，凡是迭代法都有一个收敛问题，有时某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。一个收敛的迭代法不仅具有程序设计简单，适于自动计算，而且较直接法更少的计算量就可获得满意的解。因此，迭代法亦是求解线性方程组，尤其是求解具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。 第三章 解线性方程组的迭代法 §3.1 迭代法的基本思想 迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值 ，按某种计算规则，不断地 对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。 设 非奇异， ，则线性方程组 有惟一解 ，经过变换构造出一个等价同解方程组 将上式改写成迭代式 选定初始向量