探讨循环小数循环篇word.doc

探讨循环小数的循环节 1 探讨循环小数的循环节 李肖梅 国际企业管理系 摘要：循环小数的循环节是一个令人玩味的主题，他的迷人处不下于质数，可是如 果用纸笔来计算循环节的长度，这又是一件极无聊且麻烦的事情，但是借着科技计算机 或计算器的帮助，学生可以很快的找出分数转换小数的结果，依据这些快速求出的答 案，学生可以找寻规则、提出假设、及做出结论。本文是报告商科一年级学生及师范 生如何利用计算器与计算机，经由探讨循环小数的循环节，而发现一些早期数学家例如 高斯等提出的有关「数论(Number Theory)」的定理，让理论抽象的「数论」中的数学 概念，成为容易了解的学习活动及引人勇于探索的数学问题，本文尝试解释学生如何 利用回答下列有关循环小数的相关问题，并藉计算器与计算机寻求出的解答，发现重要 的高阶数学定理。 关键词：计算器 循环小数 循环节 数论 科技教学 壹、前言 商科大一数学及师范生国小数学教材教法课程的学生，在利用计算器将分数转为 小数的求解过程中，发现计算器的缺点，因为计算器的显示数字最多只能有 12 位数 字，老师提供的计算器只有八位，因此学生提出二个问题，无循环小数概念的学生 会问小数点后要有几位有效数字，因为四舍五入估测概念深植在学生脑中，有循环小 数概念的学生会问这个答案的小数是否循环，如何求循环节长度？为了要让学生对循 环小数有深入的了解，作者设计了一些学习活动，让学生如早期数学家一般，研讨这 个令人玩味的主题，循环小数的迷人处不下于质数，质数有多长的存在探讨历史(Ore, 1948)，循环小数的循环节就有多久。在没有计算器与计算机的时代，就有许多数学家， 花费很长的时间寻找循环小数的循环节，因此很多有关循环小数的循环节的定义与定 理相对产生，「数论」也成了数学系一门很重要的课程，作者希望非数学系的学生及 师范生了解小数循环节的由来。二十一世纪是一个科技时代，学生应有科技知识的训 练（李肖梅，民 89, 民 91），本文是报告学生如何利用计算器与计算机来探讨循环小数 的循环节，让理论抽象的「数论」中的数学定理，成为容易了解的学习活动的成果。 贰、设计教学活动的学习理论 科技的突飞猛进，电算器的低价码与普遍性，利用电算器，求数学的运算结果， 已是一般人日常生活的一部分，例如，报税、算帐、出国时的专换汇率(Irwin, 2001) 等等，学校中利用科技辅助数学的教学与学习也是全球趋势（李肖梅，民 92），因此， 在小数教学中，使用科技产生的结果，造成学生的对循环小数的兴趣（李肖梅，民 94），例如循环节的长度、如何找循环节(Lee, 2005)、如何预测二数相除之结果的分 ~ 379 ~ 2 吴凤学报第 13 期 类等等引人追求的问题，均因有了科技的辅助，而能一目了然。 依据国科会补助之「图形计算器辅助数学科技化教学之研究」，李肖梅(民 89，民 90，民 91)研发出一个学习理论的架构，让科技辅助下的数学教学，使学生具备以下 的能力。 1. 连结性：了解数学概念由哪里来往哪里去。 2. 发展性：由已知的概念去发展未知的知识。 3. 扩张性：除了水平的发展外，仍可扩张为垂直的发展。 4. 例行性：哪些数学知识是例行必须的，哪些是偶而才会需要的。 5. 重建性：因了解而能建构出新的知识，或在既有的架构下，往深与广面再建或 重建。 学生的学习是自我成长、发现事实、找出关连性、经由猜测、加以推论而获得 知识，而非记忆老师说的话，为了验证学习理论之有效性、学生学习的兴趣、及学 习成效，及找出计算器无法显示藏在机器里面的小数循环节长度的现实问题，作者 设计了学习活动，活动设计的理念与学习步骤如下： 1. 呈现例题：借着科技辅助快速呈现量化的例题。 2. 观察异同：观察例题的相同与相异处做出分类。 3. 分析归类：分析类组相同范例的特征。 4. 猜测推理：做出猜测与推理。 5. 形成结论：依据推理做出结论。 让学生能依据呈现例题、观察异同、分析归类、猜测推理、及形成结论，探讨 循环小数的相关问题，及藉由计算器与计算机的辅助寻求出的解答，达成了解有关循 环小数概念的认知，学习活动包含以下五个循环小数的概念探讨。 循环小数学习活动一：小数的表征类型。 循环小数学习活动二：质数分母的无限循环小数的循环节的产生。 循环小数学习活动三：质数分母的无限循环小数的循环节的长度的决定。 循环小数学习活动四：质数分母与合数分母的循环节长度的关系。 循环小数学习活动五：利用计算器求循环小数的循环节长度。 参、教学活动 一、循环小数学习活动一：小数的表征类型 (一)呈现例题 利用计算器求出分母为 20 以内所得结果之小数的类型 图一： 循环小数类型 ~ 380 ~ 探讨循环小数的循环节 3 (二)观察异同与推论 由图一运算