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第4章 一阶逻辑基本概念 本章说明 引言 苏格拉底三段论 P：所有的人都是要死的； Q：苏格拉底是人。 R：苏格拉底是要死的。 本章内容 4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化的三个基本要素 个体词 谓词 量词  个体词及相关概念 个体词及相关概念 个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母a, b,c，…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z,…表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N,Z,R,…。 全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。 谓词及相关概念 谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。 (1) ?是无理数。?是个体常项，“?是无理数”是谓词，记为F，命题符号化为F(?) 。 (2) x是有理数。x是个体变项，“?是有理数”是谓词，记为G，命题符号化为G(x)。 (3) 小王与小李同岁。小王、小李都是个体常项，“?与?同岁”是谓词，记为H，命题符号化为H(a,b) ，其中a：小王，b：小李。 (4) x与y具有关系L。x，y都是个体变项，谓词为L，命题符号化为L(x,y)。 谓词及相关概念 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母表示。如(1)、 (2) 、(3) 中谓词F、G、H。 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写字母表示。如(4) 中谓词L。 n(n?1)元谓词：P(x1,x2,…,xn)表示含n个命题变项的n元谓词。 n=1时，一元谓词——表示x1具有性质P。 n≥2时，多元谓词——表示x1,x2,…,xn具有关系P。 0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、 P(a1,a2,…,an)。 更一般地 P(x)：x是电子科技大学的学生。 结论 谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变更。如命题F(b, c)为“真”，但命题F(c, b)为“假”； 一元谓词用以描述某一个个体的某种特性，而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 0元谓词(不含个体词的)实际上就是一般的命题； 结论（续） 具体命题的谓词表示形式和n元命题函数(n元谓词)是不同的，前者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确定的。如上例中S(a)是有真值的，但S(x)却没有真值； 一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的个体变元都用个体域中具体的个体取代后，就成为一个命题。而且，个体变元在不同的个体域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大的影响。 例题 例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值。 (1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6. 解： (1)设一元谓词F(x):x是素数，a:2，b:4。 命题符号化为0元谓词的蕴涵式 F(b)→F(a) 由于此蕴涵前件为假，所以命题为真。 (2)设二元谓词G(x,y):x大于y，a:4，b:5，c:6。 命题符号化为0元谓词的蕴涵式 G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以命题为假。 例题 将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。”符号化. (1)设 F(x,y)：x摆满了y，R(x)：x是大红书柜 Q(y)：y是古书， a：这只， b：那些 符号化为：R(a)∧Q(b)∧F(a,b) (2)设 A(x)：x是书柜， B(x)：x是大的 C(x)：x是红的， D(y)：y是古老的 E(y)： y是图书， F(x,y)：x摆满了y a：这只 b：那些 符号化为：A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b) 量词及相关概念 不便之处 从书写上十分不便，总要特别注明个体域； 在同一个比较复杂的句子中，对于不同命题函数中的个体可能属于不同的个体域，此时无法清晰表达； 如例 (所有的老虎都要吃人；)和(有一些人登上过月球；)的合取 不便之处(续) 若个体域的注明不清楚，将造成无法确定其真值。即对于同一个n元谓词，不同的个体域有可能带来不同的真值。 例如 对于语句“(?x)(x+6 = 5)”可表示为：“有一些x，使得x+6 = 5”。该语句在下面两种个体域下有不同的真值： （a）在实数范围内时，确有x=-1使得x+6 = 5，因此，(?x)(x+6 = 5)为“真”； （b）在正整数范围内时，则找不到任何x，使得x+6=5为“真”，所以，(?x)(x+6=5