4-2方阵的特征值与特征向量.ppt

第二节 定义1 （1）式也可写成 定理1 二、方阵的特征值和特征向量的求法 定理2 方阵的特征值和特征向量的求法： 例2 例3 求方阵 当 当 当 例4 三、 特征值与特征向量的基本性质 性质2 性质3 例5： 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的基本性质 特征值与特征向量 工程技术中的振动问题和稳定性问题， 及在经济 理论和应用中的一些问题， 往往可归结问求一个方阵 的特征值和特征向量问题。 特征值和特征向量不仅在 理论上很重要， 而且可直接用来解决实际问题。 一、特征值与特征向量的概念 使方程 的一个特征值, 相应的非零向量 设方阵 成立 数 和 n 维非零 列向量 则称数 为 对应的特征向量. 称为 的与 （1）式也可写成 即 （2）式说明特征向量 X 的坐标 是齐次 方程（2）的非零解。 即 是齐次方程（3）的非零解。 因为X为非零向量， 则（3）有非零解 设 是方阵 的对应于特征值 的线性无关的特征向量,则 是不 全为零的常数) 也是 的对应于特征值 的特征向量. 证明 因为 所以 已知 线性无关， 不全为零， 是 的对应于特征值 的特征向量。 所以 ， 故 设 称含参数 的矩阵 为 的特征矩阵, ( 的 次多项式) 为 的特征多项式,称 为 的特征方程. 称该矩阵的行列式 定义2 数 是方阵 的特征值 非零向量 为A的对应于 的特征向量的充要条件是 是齐次方程组 的非零解。 1、求出A 的全部特征值，即求 的全部根。 2、求出A 的全部特征向量， 的基础解系 则 属于特征值 的S个线性无关的特征向量。 即求齐次方程组 即对每一个特征值 解出齐次方程组的全部非零解 就是方阵A的 阶方阵 为可逆矩阵， 一个特征值。 是 的 解 的一个特征值与特征 已知 相应的特征向量为X。求 向量。 因为A可逆，所以λ不为零，从而 是 故 的一个特征值。 对应的特征向量仍为X。 由于 所以 是 的一个特征值。 的特征值与特征向量。 第一步：求特征值 解 第二步： 解方程 ,求基础解系， 写出全部特征向量。 X为对应的特征向量。 时的全部特征向量为 得同解方程组 令 基础解系为 当 时 解 (k1任意实数） 时 得同解方程组 令 基础解系为 时的全部特征向量为 解 (k2任意实数） 得同解方程组 令 基础解系为 时的全部特征向量为 时 解 (k3任意实数） 求 的特征值与特征向量。 解 的特征值 （二重）， 得基础解系为 解方程 的全部特征向量为 得基础解系为 解方程 的全部特征向量为 n阶方阵A与它的转置方阵 AT有相同的特征值。 证明 则 得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。 性质1 实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交。 即设 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 是 A 的分别对应于 的特征向量，则 设 是 阶矩阵 的两个不同特征值， 是对应于 的线性无关特征向量， 是对应于 的线性无关特征向量， 则 线性无关。 性质4 个特征值为 则 推论1 n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个 特征值全不为零。