5.3矩阵特征值和特征向量2015.ppt

5.3方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值和特征向量的性质 四、小结 一本和特征值有关的好书！ 本书是一本计算数学名著。作者用摄动理论和向后误差分析方法系统地论述代数特征值问题以及有关的线性代数方程组、多项式零点的各种解法，并对方法的性质作了透彻的分析。 共分九章。第一章叙述矩阵理论，第二、三章介绍摄动理论和向后舍入误差分析方法，第四章分析线性代数方程组解法，第五章讨论Hermite矩阵的特征值问题，第六、七章研究如何把一般矩阵化为压缩型矩阵及压缩型矩阵的特征值的问题，第八章论述LR和QR算法，最后一章讨论各种迭代法。 本书可作为高等院校计算数学专业的教学参考书，也可供计算数学工作者、工程技术人员及有关科学计算人员参考。 * * 1定义 一、特征值与特征向量的概念 说明 这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组 下面来看特征值的性质 称为A的迹，记为tr(A) 二、特征值与特征向量的求法 例1 解 A的特征多项式为 即 即 例2 求矩阵 　　可见：矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一 解 特征多项式为 得基础解系 得基础 解系为 　说明：　属于同一特征值的特征向量的 非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量． 例3 证 按此类推，不难证明： 例4 解 三、特征值和特征向量的性质 证明 则 即 类推之，有 把上列m个式子写成矩阵形式，得 上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙德行列式， 于是该矩阵可逆，有 即 注意 　１.Th3：属于不同特征值的特征向量是线性无关． 　　2.　一个特征向量不能属于不同的特征值． 充要条件 充分条件 例6 解 求矩阵特征值与特征向量的步骤： 【作 者】 （英）J.H.威尔金森 【译 者】 石钟慈, 邓健新 【出 版 社】 ?科学出版社 ??? ?2003 年5月 * *