6导数在研究函数中的应用.ppt

普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1) 第3章 空间向量与立体几何 江苏教育出版社 导数在研究函数中的应用 函数在某点处的导数的几何意义为函数图象在该点处切线的斜率，它量化了曲线经过该点时上升或下降的“变化趋势”． 因此函数的导数刻画了可导函数在整个定义域内的变化的趋势(上升或下降的陡峭程度)，而函数的单调性也可以刻画函数的此种性质． 那么导数与函数的单调性有什么联系？ 结论: 由函数的图象观察，当函数的图象上升时，各点处切线的斜率或增大或减小，但均为正值；而当函数的图象下降时，各点处切线的斜率则均为负值． 数学理论 一般的，设可导函数y＝f(x)，如果 在某区间上f’(x)＞0，那么函数f(x)为该 区间上的单调增函数；如果f’(x)＜0，那 么函数f(x)为该区间上的单调减函数． 数学应用 请借助于导数说明下列函数的单调性： 1．函数y＝x2； 2．函数y＝2x＋1． 例1 利用函数的导数确定函数f(x)＝x2－4x＋3 的单调增、减区间． 例2 确定函数的f(x)＝2x3－6x2＋7的单调区间． 例3 确定函数f(x)＝sinx，x∈[0，2?]的单调区间． 例5 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1是R上的单调 减函数，求实数a的取值范围． 作业： Ｐ29 练习3，Ｐ34 习题2． 极大值与极小值 观察图象，不难发现，函数图象在P点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调增变为单调减）． 在P点附近，P点的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大．我们称f(x1)为函数的一个极大值，相应地，称x1为函数的极大值点． 类似地，图中f(x2)为函数的一个极小值，x2为函数的极小值点． 函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为函数极值点． y x O a x1 b y = f(x) P(x1, f(x1)) x2 例1 求函数f(x)＝x2－x－1的极值． 例4 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx (a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1． 例5 研究函数y＝｜x｜的极小值和此时的导数． 小结： 1．对可导函数而言，导数为零的点是该点为极值点的 条件． 必要不充分 ① 求f’(x)＝0，解得x＝x0； ② 列表判断函数在x＝x0两侧的单调性； ③ 判断极值点，并求极值． 2．求极值的步骤： 3．函数的极值是函数的局部性概念，体现了函数在某一点附近的情况，极值点是区间内部的点，而不是区间的端点；且极大值与极小值没有必然的大小关系． 4．一般的，当函数f(x)在某个区间上连续且有有限个极值点时，函数的极大、极小值点时交替出现的． x a x1 x2 x3 x4 x5 b 作业： 1．Ｐ31 练习1． 2．Ｐ34 习题3． 最大值与最小值 函数f(x)在x0处取极大值，是指在x0附近f(x0)比其它函数值都大，极大值是相对函数定义域内某一局部而言的． 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x ? I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值． 同样的，极小值也是研究函数在定义域内的某一局的性质． 如果 存在x0，使得对任意的x ? I，总有f(x)≤f(x0)， 最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，则最大值惟一． 观察函数y = f(x)，x ? [a，b]的图象： f(x2)，f(x4)是极大值，而函数的最大值是f(b)． 类似地，f(x1)，f(x3)，f(x5)是极小值，而函数的最小值是f(x3)． x a x1 x2 x3 x4 x5 b 函数是否一定有最大值，最小值？ 最值一般出现在哪里？如何求函数的最值？ 求函数最值的步骤： ① 求函数的极值； ② 求函数端点处的函数值f(a)，f(b) ； ③ 比较极值与端点值f(a)，f(b) ，求出函数的最值． 最值出现在极值点，或区间的端点处． 例1 求f(x)＝x2－4x＋3在区间[－1，4]上的最值． 例2 求f(x)＝x＋sinx在区间[0，2?]上的最值． 1．函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续，且函数单调递减，则f(x