§4特征值与特征向量.ppt

作业 P327　19 1) 3)　 　　　24 * * §2 线性变换的运算 　　　 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §5 对角矩阵 §7 不变子空间 §8 若当标准形简介 §6 线性变换的值域与核 小结与习题 §9 最小多项式 一、 特征值与特征向量 二、 特征值与特征向量的求法 三、 特征子空间 四、 特征多项式的有关性质 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 引入 有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 设　是数域P上线性空间V的一个线性变换， 则称　为 的一个特征值，称　为　的属于特征值 一、特征值与特征向量 定义： 若对于P中的一个数　　存在一个V的非零向量 使得 的特征向量. ① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持 由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 注： 相同　　　 或相反 时 ② 若 是 的属于特征值　的特征向量，则 也是 的属于　的特征向量. 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即 若　　　　　且　　　　　，则 设 　　是V的一组基， 线性变换　在这组基下的矩阵为A. 下的坐标记为 二、特征值与特征向量的求法 分析： 设　是　的特征值，它的一个特征向量　在基 则 在基　　　　　下的坐标为 而 的坐标是 于是 又 从而 又 即 是线性方程组 的解， 以上分析说明： 所以它的系数行列式 从而　　　　　　　有非零解. 若　是　的特征值，则 反之，若　　　满足　　 则齐次线性方程组　　　　　　　有非零解. 若　　　　　　　是　　　　　　　一个非零解， 特征向量. 则向量　　　　　　　　　就是　的属于　的一个 设 　　 是一个文字，矩阵　　　　称为 称为A的特征多项式. 1. 特征多项式的定义 A的特征矩阵，它的行列式 （　　　是数域P上的一个n次多项式） ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 注： ① 若矩阵A是线性变换　关于V的一组基的矩阵， 而　是　的一个特征值，则　是特征多项式 的根，即 的一个特征值. 反之，若　是A的特征多项式的根，则　就是 （所以，特征值也称特征根.） 而相应的线性方程组 　　　　　 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量. i) 在V中任取一组基 写出 在这组基下 就是　的全部特征值. ii) 求A的特征多项式 在P上的全部根它们 2. 求特征值与特征向量的一般步骤 的矩阵A . iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组 的全部线性无关的特征向量在基　　　　 下的坐标.) 并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值 则 就是属于这个特征值　 的全部线性无关的特征向量. 而 （其中，　　　　　　　不全为零） 就是　的属于　 的全部特征向量. 如果特征值　 对应方程组的基础解系为： 对　　　　　　　　皆有 所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量. 例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下　 的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是 故数乘法变换K的特征值只有数k，且 解：A的特征多项式 例2.设线性变换　在基　 下的矩阵是 求　特征值与特征向量. 故　的特征值为：　　　（二重） 把 代入齐次方程组 　　　　　　　得 即 它的一个基础解系为： 因此，属于 的两个线性无关的特征向量为 而属于 的全部特征向量为 不全为零 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为 把 代入齐次方程组 　　　　　　　得 解得它的一个基础解系为： 而属于5的全部特征向量为 三、特征子空间 定义： 再添上零向量所成的集合，即 设 为n维线性空间V的线性变换，　为 的一个特征值，令　 为　的属于　的全部特征向量 则　 是V的一个子空间, 称之为　的一个特征子空间. 注： 的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于　的 若　在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则 即特征子空间 　的维数等于齐次线性方程组 (*) 全部线性无关的特征向量就是　 的一组基. 四、特征多项式的有关性质 1. 设　　　　　　　 则A的特征多项式 由多项式根与系数的关系还可得 ② A的全体特征值的积＝ ① A的全体特征值的和＝ 称之为A的迹,记作trA. 证:设 　则存在可逆矩阵X，使得 2