第3节 Fourier变换.docx

第3章 Fourier变换在第一章，我们学习了几种不同频率的信号可以合成一个信号，如“拍”的复杂信号。反过来，能否从复杂的合成信号中分离出原来的信号呢？能，这就要用到我们本章要讲的Fourier变换。本章首先介绍Fourier级数及Fourier谱，然后介绍Fourier变换的性质及快速Fourier变换，最后介绍Fourier变换在数字滤波方面的应用。3.1 Fourier级数与Fourier变换在我们生活的世界里充满了各种各样的周期现象，如日常生活中常见的昼夜更替、四季循环、温度气压等气象因素的反复变化、河水水位的周期性涨落、地面植物的岁月枯荣以及科学技术中诸如太阳活动的十一年周期起伏、地磁场的日变化、重力仪上所反映的固体潮、交流电、电磁波和机械振动等无一不是周期现象。描述周期现象的最简单的周期函数是物理学上所说的谐波函数，它由正弦或余弦函数来表示：(3-1)利用三角公式,上式可以写成：（3-2）由于是常数，令a=Acos, 则可得：（3-3）这里, (3-4)由此可以看出：一个带初相位的余弦函数可以看成一个不带相位的正弦函数与一个不带相位的余弦函数的合成。谐波函数是周期函数中最简单的函数，它描述的也是最简单的周期现象，在实际中所碰到的周期现象往往比它复杂得多。但这些复杂函数均在一定近似程度上可分解为不同频率的正弦函数和余弦函数。下面我们就介绍如何将一种复杂的函数分解为一系列不同频率的正弦函数和余弦函数的方法。3.1.1 周期函数的Fourier变换回想一下我们在数学中讲的Fourier级数：如何将一个周期为2l函数分解为Fourier级数呢？我们已经学过的Fourier级数展开式为 ：(3-5)其中 (3-6)如果f(x)是奇函数,积分上下限相互对称，则这时亦为奇函数，故an均为零，得到的Fourier级数是正弦级数: (3-7)其中，bn的积分可简写为： (3-8)如果f (x)是偶函数, 因积分上下限相互对称，并且为奇函数，故bn均为零,得到的Fourier级数是余弦级数： (3-9)其中a0和an可简写为： (3-10)3．1．2 离散Fourier 变换 现在我们设法把上述公式不加证明地应用于离散Fourier级数中。①我们在数字资料处理中经常遇到的不是一个函数，而是一个离散的数列，比如说，等间隔时间取样的时间序列(这里的数据个数为N,一般取N为偶数,并且若取一特殊的偶数还可以使计算速度加快)。因此用上述公式时需要加以改造。首先，我们得到的数字信号只能在正的时间段取值,在负的时间段不能取值。但由于我们认为所取的时间是无限长的周期序列，周期为2l，因此，我们可以把（-l，l）修改为（0,2l）这样就避免了在负时间段取值。x就对应于时间序列的时间，即，i=0,1,2,…,N-1。②由于我们要处理的是离散的数据序列，因此不能再用积分，而应用积分的离散形式----求和来表示，即：③我们在（0，2 l）里等间隔地取N个取值点，取样时间间隔为，其中。有了上述改正，我们有（3-11）（3-12）所以（3-5）公式的离散形式为：（3-13）式中（3-14）（3-15）现在考虑（3-13）式，若我们共有N个观测数据，即{,则上述方程可以列出N个方程式，式（3-14）和式（3-15）为方程组的解。那么，我们考虑一下m最大可以取多大呢？在（3-13）式中均是未知数，m越大，未知数的个数越多。（3-13）式所列出的N个方程最多只能确定N个未知数，可见m最大只能取。这里需要注意的是，求和号里面的未知数的个数已经有N个了，再加上a0这个未知数，未知数的个数是否多于方程的个数呢？如果我们分析一下求和号里面的,当k取时,最后一项为:，所以根本没必要求。但这里需要注意的是，与a0一样，这里的也只取一半。这样，取m最大为就正好满足了N个方程确定N个未知数的唯一解的条件。对于N为奇数的情况，m的取值应向下取整得到m=floor(N/2),此时的不为零，按正常计算。xi的第k项为：，我们将其写成以下形式：（3-16）由上式可以看出，第k项为两个周期函数之和，一个为正弦函数，一个为余弦函数，它们的频率均为：（3-17）这里的为时间,圆频率为。T为所取数据的总的时间长度，随着k的增大，三角函数的频率逐渐增加，周期逐渐减小。它们的周期为：（3-18）即为整个记录长度的。因此，对于一个有限长观测数据序列来说，使用Fourier级数法求得的各种周期或频率的波是有限制的。因为k只能取0 ~的整数。①k=0时，a0为该数据序列的直流分量。②k=1时，波的周期为包含全部观测数据记录的时间T，这