高考数学二轮核心题点保温训练：专题2.5 怎样用好基本不等式.doc

专题2.5 如何用好基本不等式 1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．av B．v＝ C.v D．v＝ 答案　A 解析　设甲、乙两地之间的距离为s. ∵ab，∴v＝＝＝＝. 又v－a＝－a＝＝0，∴va. 2．若函数f(x)＝x＋ (x2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 答案　C 解析　∵x2，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2 ≥2＋2＝4， 当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4. 3．设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　) A．8 B．4 C．1 D. 答案　B 解析　因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1. ＋＝(a＋b)＝2＋＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当＝， 即a＝b＝时等号成立． 4．已知m＝a＋(a2)，n＝x－2(x≥)，则m与n之间的大小关系为(　　) A．mn B．mn C．m≥n D．m≤n 答案　C 解析　m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a2)， 当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥得x2≥， ∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n. 5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　∵x0，y0， ∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)． 又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥， 而≤＝2， ∴当且仅当x＝2y时，max＝2. ∴λ的最小值为2. 6．已知a0，b0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为(　　) A．4 B．16 C．9 D．3 答案　B 解析　因为a0，b0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立． 因为＋≥2 ＝6， 当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16， 所以m≤16，即m的最大值为16，故选B. 7．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________． 答案　18 解析　∵x0，y0,2x＋y＋6＝xy， ∴2＋6≤xy，即xy－2－6≥0， 解得xy≥18. ∴xy的最小值是18. 8．已知a0，b0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________． 答案　16 解析　根据函数f(x)是偶函数可得ab－a－4b＝0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4，解得ab≥16(当且仅当a＝8，b＝2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16. 9．若对任意x0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 答案　 解析　∵a≥＝对任意x0恒成立，设u＝x＋＋3，∴只需a≥恒成立即可． ∵x0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)． 由u≥5知0≤，∴a≥. 10．(1)已知0x，求y＝2x－5x2的最大值； (2)求函数y＝(x－1)的最小值． 解　(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)． ∵0x，∴5x2,2－5x0， ∴5x(2－5x)≤()2＝1， ∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝. (2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t0)， ∴y＝ ＝t＋＋5≥2 ＋5＝9. 当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号， ∴ymin＝9. 11．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2 (k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0， 由实际意义和题设条件知x0，又k0， 故x＝＝≤＝10， 当且仅当k＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a0，所以炮弹可击中目标?存在k0， 使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?0a≤6. 所以当a不超过6千米时，可击中目标． 12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元． (1)若建筑