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第3章矩阵的初等变换与线性方程组资料
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (1)无解的充要条件 ——R(A)?R(A? b)? (2) 唯一解的充要条件——R(A)?R(A? b)?n? (3)有无限多解的充要条件——R(A)?R(A? b)?n? [定理3-3] n元线性方程组Ax?b,则: 二、线性方程组的解 n元齐次线性方程组: 1、齐次线性方程组 由[定理3-3]知,齐次线性方程组肯定有解。 (1)当R(A)=n时,齐次线性方程组有唯一零解。 (2)当R(A)=r n时,齐次线性方程组有非零解(无限多解)。 解齐次线性方程组的重点是求非零解 (通解)。 求解齐次线性方程组的方法: (1)对系数矩阵A作行变换化为行阶梯形。 确定 (2)若r =n,则知: (3)若R(A)=r n,进一步将A化成行最简形。根据A的行最简形,写出含n-r个参量的通解(非零解)。 齐次线性方程组只有零解。 [例3-10]求解齐次线性方程组 [解]对系数矩阵A作行初等变换,化为行最简形: ~ ~ 方程组有唯一解 [例3-11]求解齐次线性方程组 [解]对系数矩阵A作行初等变换,化为行最简形: ~ ~ ~ ~ ~ 由A的行最简形,得: 令 x2=c1 , x4=c2,则有: 求解线性方程组的方法: (1)对增广矩阵B作行变换化为行阶梯形。 确定 和 (2)若R(A )=R(B),则进一步把B化成行最简形。 (3)若R(A)=R(B)=n,,由B的行最简形,即可写出方程组有唯一解。 若 则方程无解。 2、非齐次线性方程组 (4)设R(A)=R(B)=rn,由B的行最简形,即可写出含n-r个参量的通解。 还以上节课中线性方程组为例: ~ ~ [例3-12]求解非齐次线性方程组 [解]对增广矩阵B作行初等变换,化为行最简形: ~ ~ 此方程组无解。 [例3-13]求解非齐次线性方程组 [解]增广矩阵B作行初等变换,化为行最简形: ~ ~ ~ 解得: 即 三、矩阵方程 1、线性方程组 [定理3-4] n元齐次线性方程组 有非零解的充要条件是: [定理3-5] 线性方程组 有解的充要条件是 [定理3-6] 矩阵方程AX=B有解的充要条件是 2、矩阵方程 将X和B按列分块为: 矩阵方程有解无解的判别 矩阵方程AX=B的求解方法 [定理3-7] 设AB=C ,则 [证明] : 因AB=C,知矩阵方程AX=C有解:X=B,则由[定理3-6]有: 矩阵秩的性质(5)知 又 同理有 综合得: 例如: 例如: 例如: 例如: 例如: ~ ~ ~ (1)先证明:max{R(A), R(B)}≤R(A,B) 矩阵秩的性质(5)证明: (2)再证明:R(A,B)≤ R(A)+ R(B) 设R(A)=r,R(B)=t.把A和B分别作列变换化为列阶梯形A1和B1,则A1和B1中分别含有r个和t个非零列。故可设: 由于 (A1 , B1)中只含有r+t个非零列.故: 综合(1)、(2)有: 矩阵秩的性质(6)证明: 由性质(5)知: 设R(A)=r,设增广矩阵 的行最简形为 ~ (1) 若R(A)?R(B),则BF中的dr+1=1,于是BF的第r +1行对应矛盾方程0=1,方程组无解。 [定理3-3]证明: (2) 若R(A)=R(B)=r=n,则BF中的dr+1=0,且bij都不出现,即 则BF对应方程为: ~ 故方程组有唯一解。 (3) 若R(A)=R(B)=rn,则BF中的dr+1=0 则BF对应方程为: 令自由未知数xr+1=c1,…xn=cn-r,方程组的解为: 即方程组的通解为: 此种情况,方程组有无限多个解。 [定理3-6]的证明: 设A为m ? n矩阵,X为n?l矩阵,B为m?l矩阵。 把X和B按列分块为: 则矩阵方程AX=B等价于l 个向量方程(线性方程组): 又设R(A)=r,且A的行最简形为 ,则 有r个非零行,且 的后n-r行全为零,再设: 从而有:
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