10算术平均数及几何平均数教学设计.doc

算术平均数与几何平均数教学设计 衡东县第一中学数学课题组 刘玉华执笔 教材分析与设计理念: 教材中算术平均数与几何平均数一节既是不等式性质: 的延续,又是不等式证明方法———综合法的重要理论依据之一.更是处理有关函数最值问题这一高考热点的一种常用方法.学好这部分内容,对整个高中数学的学习都有重要意义.在以往的教学实践中发现:一方面学生容易忽视均值不等式成立的条件,导致解题过程不严谨,甚至得出错误的结论;另一方面均值不等式在处理不等关系时,方法灵活,技巧性强,是高考考查学生分析问题﹑解决问题能力的重要内容之一.教参中只安排两课时,时间紧,也是教师教不透,学生学不好的主要原因.因此我认为这节内容有必要安排三课时:第一课时,让学生了解均值不等式及其成立的条件,学会初步应用.第二课时,在灵活应用上下功夫,在学生常出错处动脑筋,让学生切实掌握好均值不等式的应用.第三课时,解决日常生活实际应用题中均值不等式的建模问题. 下面是我对前两课时的教学设计. 第一课时 教学目的与要求:理解,掌握两个重要不等式及各自成立的条件,能正确,熟练地运用两个重要不等式解题. 教学重点:理解﹑掌握两个重要不等式及各自成立的条件. 教学难点:运用两个重要不等式解题及对解题过程的反思﹑确认. 教学方法:自学﹑启发﹑引导﹑精讲﹑练习. 教学多媒体选择:投影仪. 教学过程: 一.让学生阅读教材例2.(培养学生阅读教材的能力) 二.让学生口叙两个重要不等式.(教师板书,培养学生看书﹑总结反思的好习惯) ①如果,那么.(当且仅当时取“=”号) ②定理:如果a,b是正数,那么(当且仅当时取“=”号) 三.提问: ①两个不等式对的要求是否相同?为什么? 生:不同,前者只要求,后者要求.若a=-3,b=-2,前一个不等式成立,而后一个不等式就不成立了. ②括号中“当且仅当a=b时取“=”号”这句话怎样理解? 生:当时,两个不等式中的“=”号成立;反之“=”号成立时,则. 即是两个不等式中“=”号成立的充要条件. 四.针对练习:(投影仪显示) 1.①求证:（）. ②求证:（）. ③已知为三角形的三边, 求证: . ④已知,求函数的最小值.并求此时的值.若,该函数有最小值吗?有最大值吗?并求出相应的值. 导析:①由第一个重要不等式易证得此不等式成立.这个不等式也可作为证明其他不等式的根据.它还可变形为. ②由上一题的结果不难证得此不等式成立,通过此题的练习可培养学生的观察能力,分析能力. ③ ∴ ∵为三角形的三边. ∴ ∴ ∴题中不等式获证. ④∵ ∴ =5. 当且仅当即时,等号成立. 若, , 当且仅当 即x=1时等号成立. 2.下列说法是否正确?为什么?(投影仪显示) ①的最小值是2. ②的最小值是4. ③的最小值是. 导析:①不正确.因为不一定为正数. 当时, 当时, . 不正确. 当且仅当即时上式中等号成立. 但,不可能取2,所以上式等号不能成立. 的最小值不是4. 令 易证在上单调递减. ∴. 不正确.因为(三个正数的均值不等式还没讲,布置学生课后看阅读教材.) 当且仅当即x=1时等号成立.显然 因为 错误思路: 当且仅当即时等号成立. 错因:不等式成立,但不能根据来求的最小值,因为不是一个常数. 通过此题的练习﹑讨论﹑讲评,让学生明白运用均值不等式求函数最值是要满足三个条件: 一要正; 二可定(即求和的最小值时,积凑常数;求积的最大值时,和凑常数); 三能等(即均值不等式中的等号能成立,特别是几次运用均值不等式时,等号能成立的条件应不相矛盾.). 五.作业: 1.习题6.2第3,4,5题. 2.阅读教材第24-25页,了解个正数的算术平均数与几何平均数的关系. 第二课时 教学目的与要求:能灵活运用均值不等式解题. 教学重点:已知条件的运用,对题意的理解. 教学难点:已知条件的运用,发散思维能力的培养. 教学方法:练习,点拨. 教学多媒体选择:投影仪. 教学过程: 复习提问: 运用均值不等式求函数的最值时,应注意哪几点? 二.例题: 例1.已知且,求的最小值. 引导学生观察已知条件,注意”1”的妙用,得出. 解法一: 当且仅当时取”=”号. 又∵ ∴当且仅当时,上式等号成立. ∴ 解法二: 要求的最小值,由已知可用表示.可转化为只含的式子. 由已知得 当且仅当 即时等号成立. ∴. 基于求和的最小值,积凑常数的思路.又有下面的 解法三:由已知条件变形得,又由已知得,所以当且仅当 .即时等