D11_4平面曲线积分及积分路径无关的条件.pdf

第四节 第十一章 平面曲线积分与路径 无关的条 件一、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 二、二元函数原函数及求法 三、全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理. 设D 是单连通域, 函数 在D 内 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线L , 有 L Pdx Qdy 0. (2) 对D 中任一分段光滑曲线L , 曲线积分L Pdx Qdy 与路径无关, 只与起止点有关. (3) 在D 内是存在函数 du(x, y) P x, y dx Q x, y dy 使     P Q (4) 在D 内每一点都有 . y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明 (1) (2) 设L , L 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 1 2 线, 则 B Pdx Qdy  Pdx Qdy L2 L 1 L 2  Pdx Qdy L1 L  A 2 L 1L  Pdx Qdy (根据条件(1)) 2 L 2 Pdx Qdy 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 B AB Pdx Qdy A Pdx Qdy 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证明 (2) (3) 在D 内取定点 和任一点B(x, y ), 因曲线积分 与路径无关,有函数 B(x,y ) C(x x,y ) A(x0 ,y 0 ) 则  u u(x 