第3讲——条件熵、联合熵及熵的性质.ppt

信源及其信息熵 得联合概率： p(x0y0) = p(x0) p(y0 |x0) = 2/3×3/4 = 1/2 p(x0y1) = p(x0) p(y1 |x0) = 0 p(x0y2) = p(x0) p(y2 |x0) = 2/3×1/4 = 1/6 p(x1y0) = p(x1) p(y0 |x1) = 0 p(x1y1) = p(x1) p(y1 |x1) = 1/3×1/2=1/6 p(x1y2) = p(x1) p(y2 |x1) = 1/3×1/2=1/6 联合熵H(XY) H(XY)＝H(X)＋H(Y|X)=1.8bit/符号 同理 p(x0 |y1)=0 ； p(x1 |y1)=1 p(x0 |y2)=1/2； p(x1 |y2)=1/2 对称性 可加性 例:有一个无记忆信源随机变量X∈(0,1),等概率分布,若以单个符号出现为一事件,则此时的信源熵: 例:有一离散平稳无记忆信源 由 p(ai,aj) = p(ai) p(aj| ai) 计算得联合概率p(ai aj)如表 H(X1,X2)表示平均每二个信源符号所携带的信息量, 那么平均每一个信源符号携带的信息量近似为: 对于有记忆信源,就不像无记忆信源那样简单,它必须引入条件熵的概念，而且只能在某些特殊情况下才能得到一些有价值的结论。 对于由两个符号组成的联合信源,有下列结论: 若信源输出一个L长序列,则信源的序列熵为 （1）条件熵H (XL|XL-1) 随L的增加非递增 当前后符号无依存关系时,有下列推论： 离散有记忆信源的序列熵 平均符号熵为： 极限熵: 离散有记忆信源的序列熵 离散有记忆信源特点 （3）平均符号熵HL(X)随L的增加非递增 H0(X)≥H1(X)≥H2(X)≥…≥H∞(X) （2）L给定时, H L(X)≥H (XL|XL-1) （4） * * 第二章 2.1.3 条件熵及联合熵 条件熵是在联合符号集合XY上的条件自信息量的数学期望。 在已知随机变量Y的条件下，随机变量X的条件熵定义为： 要用联合概率加权 条件熵是一个确定值，表示信宿在收到Y后，信源X仍然存在的不确定度。这是传输失真所造成的。有时称H(X/Y)为信道疑义度，也称损失熵。称条件熵H(Y/X)为噪声熵。 条件熵 联合离散符号集合XY上的每个元素对 的联合自信息量的数学期望。 联合熵 熵、条件熵、联合熵关系 一个二进信源X发出符号集{0,1},经过离散无记忆信道传输,信道输出用Y表示.由于信道中存在噪声,接收端除收到0和1的符号外,还有不确定符号“2” 已知X的先验概率: p(x0)=2/3, p(x1)= 1/3, 符号转移概率： p(y0|x0)=3/4, p(y2|x0)=1/4 p(y1|x1)=1/2, p(y2|x1)=1/2， X Y 0 1 0 1 2 3/4 1/2 1/2 1/4 信源熵H(X) 例题 由 例题 条件熵H(Y|X) 得 p(y0) =∑ p(xiy0) = p(x0y0) +p(x1y0) =1/2+0 = 1/2 p(y1) =∑ p(xiy1) = p(x0y1) +p(x1y1) = 0+1/6 =1/6 p(y2) =∑ p(xiy2) = p(x0y2) +p(x1y2) = 1/6+1/6=1/3 由 例题 信源输出熵H(Y) 由 得 条件熵H(X|Y) 例题 或 H(X|Y)= H(XY)-H(Y)=1.8-1047=0.33bit/符号 2.1.4 熵的基本性质 熵的基本性质 概率矢量 非负性 非负性 H(X)≥0 由于0≤pk≤1, 所以logpk≤0，-logpk≥0， 则总有H(X)≥0。 根据加法交换律可以证明，当变量交换顺序时熵函数的值不变, 即信源的熵只与概率空间的总体结构有关，而与各概率分量对应的状态顺序无关。 对称性 确定性 当信源X的信源空间[X，P]中，任一概率分量等于1，根据完备空间特性，其它概率分量必为0，这时信源为一个确知信源，其熵为0。 确定性 这说明信源空间中增加某些概率很小的符号，虽然当发出这些符号时，提供很大的信息量，但由于其概率接近于0，在信源熵中占极小的比重， ，使信源熵保持不变。 扩展