晨德2011年度圆锥曲线解答题答案.doc

1、2011安徽（本小题满分13分） 设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。 1、（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设 ① 再设 解得 ②将①式代入②式，消去，得 ③ 又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得 故所求点P的轨迹方程为 ．如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意k0，求证：PA⊥PB 解：（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以 （2）直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 （3）解法一： 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得. 于是直线PB的斜率 因此 解法二： 设. 设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以 从而 因此 3．（本小题共14分） 已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点. （I）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （II）将表示为m的函数，并求的最大值. （共14分） 解：（Ⅰ）由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为 （Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为 由 设A、B两点的坐标分别为，则 又由l与圆 所以 由于当时，所以. 因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值2. 的离心率为，x轴被曲线 截得的线段长等于C1的长半轴长。 （Ⅰ）求C1，C2的方程； （Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E． （i）证明：MD⊥ME; （ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理由。 4．（Ⅰ）由题意知故C1，C2的方程分别为 （Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为. 由得. 设是上述方程的两个实根，于是 又点M的坐标为（0，—1），所以 故MA⊥MB，即MD⊥ME. 解得 则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为， 同理可得点B的坐标为 于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为 于是. 因此 由题意知， 又由点A、B的坐标可知， 故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为 5．（本小题满分13分） 是双曲线上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为． （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足,求的值． 5．（本小题满分13分） 解：（1）点在双曲线上， 有 由题意又有 可得 （2）联立设 则 ………………（1） 设 又C为双曲线上一点，即 有 化简得： …………（2） 又在双曲线上，所以 由（1）式又有 得： 6、（本小题满分12分）上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C． （I）（II）为C在点P处的切线，求O点到距离的最小值． 6、）解： (Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2).再由题意可知（+）??=0， 即（-x，-4-2y）??(x，-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2. (Ⅱ)设P(x，y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x 因此直线的方程为，即． 则O点到的距离.又， 所以 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2. ．（本小题满分1分）中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．为等腰三角形．（Ⅰ）； （Ⅱ）与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程． 由题意，可得 即 整理得（舍）， 或所以 （II）解：由（I）知 可得椭圆方程为 直线PF2方程为 A，B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得 解得