随机信号分析第三节.ppt

复随机过程 定义复随机过程的自相关函数为 协方差函数定义为 : 当τ=0时，中心化自相关函数就是方差 复随机过程 如果复随机过程Z(t)满足： 称Z(t)是宽平稳的复随机过程 注：平稳复随机过程的自相关函数不具有对称性。 复随机过程 同理，对于两个复随机过程Z1(t),Z2(t), 定义它们的互相关函数和互协方差为： 若Z1(t),Z2(t)联合平稳，则 若 则称Z1(t)与Z2(t)互不相关。 若 则称Z1(t)与Z2(t)为正交过程。 复随机过程 例3.8随机过程X(t)由N个复数信号之和构成，即 式中ω0为角频率(常数)，Ak为第k个信号的幅度、是随机变量，φk是在(0，2π)上均匀分布的随机相位。现假设对所有变量Ak和φk (k=1,2,…,N)，都是统计独立的。求X(t)的自相关函数。 解： 因为Ak和φk统计独立，所以 由于 于是 § 3.7 高斯随机过程 高斯过程定义：如果对于任意时刻 ，随机过程的任意n维随机变量 的n维密度函数服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。 高斯过程的n维概率密度函数为： 式中m,x为n维向量 C为协方差矩阵： 由此可见，正态随机过程的n维概率分布仅取决于其一、二阶矩函数。 高斯随机过程 另高斯过程的n维概率密度函数的展开式： 高斯过程的多维特征函数 高斯随机过程有许多特殊性质： 正态随机过程的n维概率分布仅取决于其一、二阶矩函数。所以当它满足宽平稳条件时，其一、二阶矩与时间起点无关，故其n维概率密度函数也与时间起点无关，必然是严平稳的 。 性质1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。 如平稳高斯过程的一、二维概率密度函数为： 高斯随机过程的性质 性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻是不相关的，那么也一定是互相独立的。 所以，高斯过程的不相关性和独立性也是等价的。 由不相关性知，对任意两个不同时刻ti,tk，有 由式(3.7.7)： 性质2： 由此当随机过程不相关时，可得平稳高斯过程的二维概率密度函数为 n维分布为 综上所述，高斯过程的宽平稳性和严平稳性是等价的；不相关性和独立性也是等价的。 高斯过程性质 性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程。 设混合信号Z(t)=Y(t)+S(t) ，其中S(t)为确定信号 ， Y(t)为平稳高斯过程，前面讨论过的两独立随机变量之和的概率密度为两随机变量概率密度的卷积在这也适用。 由于S(t)为确定信号，故其概率密度可表示为δ[s-S(t)] 混合信号的一维概率密度为： 当Y为高斯分布，则混合信号的一维分布也是高斯的。 高斯过程性质 同理可得混合信号Z(t)的二维概率密度为 依此类推可得混合信号Z(t)的n维概率密度: 当Y(t)为一个高斯过程时，只要将式(3.7.1)的指数项中每一对(yi-mY)用(zi-s(ti)-mY)代替，即可得到混合信号的n维概率密度。 还须指出，对于平稳高斯过程与确定信号之和的分布而言，仍可得到高斯分布，但是一般情况下混合信号不再是平稳的了。 高斯过程性质 性质4：若正态随机过程 在T上是均方可积的，则 也是正态过程。 性质5：若正态随机过程 在T上是均方可微的，则其导数也是正态过程。 一个高斯随机过程经任意线性变换（如线性相加、线性放大、微分、积分等），其输出仍是高斯随机过程 小结 1、宽平稳随机过程 2、宽各态历经过程 X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性 小结 3、平稳过程自相关函数的性质 RX(τ)是偶函数 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数 不包含任何周期分量的非周期平稳过程满足 相关系数、相关时间 小结 4、随机过程统计特性的实验研究方法 估计量的性质 无偏估计量、有偏估计量、渐近无偏估计量、一致估计量 均值的最大似然估值 方差的最大似然估值 自相关函数的估计 小结 5、高斯随机过程的性质 性质1：宽平稳和严平稳等价 性质2：不相关性和独立性也是等价的 性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程 性质4：一个高斯随机过程经任意线性变换（如线性相加、线性放大、微分、积分等），其输出仍是高斯随机过程 习 题 3，4，5，10，12，13，14，16，*25 * 平稳过程相关函数的性质 性质8:一个函数能成为自相关函数的充要条件是，必须满足半正定性，即对任意函数f(t)有 平稳过程的自相关函数RX(τ)及CX(τ)的典型曲线如图3.5(a)及图3.5(b)所示。 题3.11 指出题3.11图中函数曲线能否是正确的自相关函数曲线，