高等数学第七章第4节空间曲面及空间曲线.ppt

CH1_ 第四节 空间曲面与空间曲线 一 曲面方程的概念 二 曲线方程的概念 三 二次曲面的截痕法 一 曲面方程的概念 二 曲线方程的概念 三 二次曲面的截痕法 第四节 空间曲线与空间曲面 第七章 空间解析几何与向量代数 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面方程的定义： 曲面的实例： 1 曲面方程的定义 如果曲面 与三元方程 有下述关系： (1) 曲面 上任一点的坐标都满足方程； 上的点的坐标都不满足方程； （2）不在曲面 那么，方程 就叫做曲面 的方程， 就叫做方程的图形． 而曲面 解 根据题意有 所求方程为 例1 求与原点 及 的距离之比为 的点的全体所组成的曲面方程. 设 是曲面上任一点， 根据题意有 化简得所求方程 解 例2 已知 求线段 面的方程. 的垂直平分 设 是所求曲面上任一点， 根据题意有 图形上不封顶，下封底． 解 例3 方程 的图形是怎样的？ 用平面 去截图形得圆： 当平面 上下移动时， 得到一系列圆, 的增大 圆心在 半径为 半径随 而增大. 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． (1) 球面 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为 设球心在点 半径为 下面建立 球面方程. 2 几种常见的曲面 设 是球面上任一点， (球面方程的标准式) 将方程（1）展开得 由此可见球面方程的特点 1) 是 的二次方程 2） 的系数为1（或相等） 3）不含 项 (球面方程的一般式) 球面方程又可表示为 定义 (2) 柱面 并沿定曲线 所形成的曲面称为柱面. 移动的直线 柱面 这条定曲线 叫 的准线， 平行于定直线 叫 母线. 柱面的 动直线 下面建立母线平行于 轴，准线为 平面曲线 的柱面方程。 设 为柱面上 任意一点， 过 作平行 轴的直线交 平面 曲线 上的点 因此 将 代入得柱面方程 由于 在 平面曲线 上， 从柱面方程看柱面的特征： 只含 而缺 的方程 系中表示母线平行于 在空间直角坐标 轴的柱面， 只含 而缺 的方程 系中表示母线平行于 面上 在空间直角坐标 曲线 轴的柱面，其准线为 只含 而缺 的方程 系中表示母线平行于 面上 在空间直角坐标 曲线 轴的柱面，其准线为 面上 曲线 其准线为 柱面举例 母线平行于 轴的椭圆柱面 轴的平面 母线平行于 轴的抛物柱面 母线平行于 轴的双曲柱面 母线平行于 定义 一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. (3) 旋转曲面 线这条定直线叫旋转曲面的轴． 这条定直 旋转轴 求由 平面曲线 绕 轴旋转一周所得 的旋转面方程。 设旋转面上任意一点 则 是由 平 面的曲线 绕 上 轴旋转而得的， 一点 将上式代入 得方程 面上曲线 绕 轴的旋转曲面方程. 同理： 坐标面上的已知曲线 绕 轴旋转一周的旋转曲面方程为 坐标面上的已知曲线 绕 一周的旋转曲面方程为 轴旋转 例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程． 旋转双曲面 1）双曲线 分别绕 轴和 轴； 绕 轴旋转 绕 轴旋转 旋转椭球面 旋转抛物面 2） 绕 轴； 面上椭圆 3） 绕 轴； 面上抛物线 4） 面上直线 圆锥面 绕 轴； (4) 锥面 通过定点 动直线 沿定曲线 移动所形成的 曲面称为锥面， 定点 称 为锥面的顶点， 定曲线 称为锥面的准线。 称为锥面的母线， 动直线 例5 建立以椭圆 为准线， 坐标原点为顶点的锥面方程。 解 设点 锥面 上任意一点， 过点 的母线 交椭圆于点 由 锥面方程为 椭圆锥面 空间曲线的一般方程 曲线上点的坐标都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上点的坐标不能同时满足两个方程. 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 1 空间曲线的一般方程 例1 方程组 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆. 表示怎样的曲线？ 空间曲线的参数方程 2 空间曲线的参数方程 当给定 时，就得到曲线上的一个点 随着参数的变化可得到曲线上的全部点. 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 例2 如果空间一点 在圆柱面 出发，以角速度 绕 轴旋转， 沿平行 轴的正方向上升（其中 都是常数）， 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 同时又以线速度 于 那么点 在 面的投影 动点从 点出发， 经过t时间，运动到 点, 上从点 螺旋线的参数方程还可以写为 例3 将曲线方程 化为参数式方程。 解 将 代入 得 参数