第2篇 线性代数方程组.ppt

线性方程组数值解法的分类： 线性方程组数值解法的分类： ?直接法 ◆ Gauss消去法及其变形 ◆矩阵的三角分解法 3、列主元Gauss消元法 例8：利用Doolittle三角分解方法解线性方程组 比较对应元素： 当 i = j 时 当 j i 时 解得 于是，根据计算公式 可以对对称正定矩阵进行平方根分解 l11 … l21 l22 l31 l32 l33 … … … ln1 ln2 ln3 … lnn 关于方程组 Ax=b , 如果对系数矩阵进行了平方根分解 A＝LLT，则将方程组化为： Ly＝b , LTx＝y 解得 于是，关于系数矩阵是对称正定矩阵的线性方程组Ax=b的求解，分两步进行： 第一步：系数矩阵的平方根分解 第二步：解等价方程组 例10 用平方根法求解对称正定方程组 解: 首先进行A 的Cholesky 分解 A＝LLT 2 -0.5 0.5 2 1.5 1 2 -0.5 0.5 2 1.5 1 得 y1＝2，y2＝3.5 ，y3＝1 得 x1＝1，x2＝1，x3＝1 求解Ly＝b: 再求解 LTx＝y: ? 解三对角方程组的追赶法 选列主元过程： 一、求主元 alk 使得 | alk | =max{ |akk|, |ak+1,k|, …, |ank | }; 二、判断：若 |alk| ?，则输出错误信息并停机，否则 转三； 三、判断：若 l ? k ，则交换增广矩阵中第 l 行与 k 行 的元素，否则不交换。 例5 用列主元法解 第一列中绝对值最大是10，取10为主元； n 阶方程组第 k 轮消元时，选第 k 列的后 (n-k+1) 个元素中绝对值最大者作主元。 x3 = 6.2/6.2 = 1 x2 = (2.5-5x3)/2.5 = -1 x1 = (7+7x2-0x3)/10 = 0 x1 = 0 x2 = -1 x3 = 1 第二列的后两个数中选出主元 2.5； 高斯消元法是一种顺序消元法。消元过程按方程和未知数的顺序依次作消元计算，缺乏一定的灵活性。计算中有除数为零时，算法便无法实现；即使所有的除数都不为零，可以计算出方程组的解，也不能保证计算结果有很高的精度。 例 6 在有效位数为5位的计算机上用不同的算法求解方程组 作比较。 x1 = 0.25000187501406… x2 = 0.49999874999062… 并与方程组的准确解 m21 = 2/0.00001 = 2 × 105 = 0.000003 × 106 – 0.40000 × 106 = -0.40000 × 106 = 0.000002 × 106 – 0.20000 × 106 = -0.20000 × 106 x2 = 0.50000, x1 = 0.00000. 解法一：高斯消元法 m21 = 0.00001/2 = 0.5 × 10-5 =2 - (0.5 × 10-5) × 3 x2 = 0.50000, x1 = 0.25000. 解法二： 列主元消元法 = 0.20000× 10 – 0.0000015 × 10 = 0.20000 × 10 =1 - (0.5 × 10-5) × 2 = 0.10000× 10 – 0.000001 × 10 = 0.10000 × 10 2.2 矩阵的直接分解法 ? 高斯消元法的矩阵形式 每一步消去过程相当于左乘初等下三角矩阵Lk A 的 LU 分解 ( LU factorization ) 第一个方程组的系数矩阵为下三角矩阵，第二个方程组的系数矩阵为上三角矩阵，两个方程组都非常容易求解。 将A=LU 称为矩阵A的三角分解,这时线性方程组为： 令 则有 定理2：（矩阵的三角分解）设A为n ? n实矩阵，如果 解AX = b用高斯消去法能够完成（限制不进行行的交 换，即 ），则矩阵A可分解 为单位下三角矩阵L与上三角知阵U的乘积。 A = LU 且这种分解是唯一的。 注： （1） L 为单位下三角阵而 U 为一般上三角阵的分解称为多利特尔（Doolittle） 分解； （2）L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称为库朗（Courant ）分解。 ? Doolittle分解法 ： 通过比较法直接导出L 和 U 的计算公式。 思路 根据 A=LU 有等式成立： 比较等式两端对应元素，有 n n i i 可以解得： 当 i=1 时 当 j=1 时 当 i 1 时 当 j 1 时 下面，我