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化 学 数 学 重庆师范大学化学学院 物理化学工教研室 谌虹 第一部分 线性代数 第六章 二次型 第一节 二次型 第二节 化二次型为标准型 第三节 惯性定理 第四节 正定二次型与正定矩阵 第三节 惯性定理 限定所用的变换为实变换来研究二次型的标准形所具有的性质。 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法、初等变换法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。 但比较各个不同的标准形会发现，其中所含有的系数不为零的平方项的个数是确定的，项数等于二次型的秩，且正平方项、负平方项的个数也相同。即有下列定理： n阶实对称矩阵A的秩为r，正惯性指数为p，则 负惯性指数 q=r-p 符号差 p-q=2p-r 与A合同的对角阵的零对角元个数为 n-r 作 业 P123习题六 6、 第四节 正定二次型与正定矩阵 正(负)定二次型的判别 霍尔维茨定理 直接从二次型的矩阵A本身判定它是否正定的方法。 例2 P121 例1 自学 小 结 思考题 思考题解答 作 业 P141 8、 10、(1) 例3 判别二次型 是否正定。 解 例4 判别二次型 是否正定。 解 用特征值判别法. 二次型的矩阵为 即知A是正定矩阵 故此二次型为正定二次型. 例5 P121 例2 讲 1、正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系。 2、正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法 (2)顺次主子式判别法 (3)特征值判别法 3、根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法(请自己推导)。 * 第六章 二次型 * 证明 略（P117） 说明： 因为标准形的矩阵B是对角阵，对角阵B的秩等于对角线上非零元素的个数p+q，所以 二次型f的秩=矩阵A的秩=矩阵B的秩= p+q =r 即，对一n阶实对称阵A，不论取怎样的可逆阵C，只要使 di0 (i=1,2,...,p+q) p+q?n成立，则p和q是由A唯一确定的. 定义1 即二次型XTAX(所化成)的标准形中： 正平方项的项数(与A合同的对角阵中正对角元的个数)，称为二次型(或A)的正惯性指数； 负平方项的项数(与A合同的对角阵中负对角元的个数)，称为二次型(或A)的负惯性指数； 正负惯性指数的差为符号差。 为此特给出下列定义： 推论1 (6.15)右端称为二次型的规范型，显然，它是唯一的。(6.16)式中的对角阵称为A的合同规范形。 或设A为n阶实对称矩阵，若A的正负惯性指数分别为p和q，则 A ~ diag(1,...,1,-1,...,-1,0,...,0) (6.16) 其中1有p个, -1有q个, 0有n-(p+q)个。 证 根据惯性定理，存在可逆阵C1，使得 其中?1分别有p,q个，0有n-(p+q)个。 取C=C1C2，(6.16)式成立； 取X=CY(C可逆)(6.15)式成立。 如果两个n阶实对称矩阵A,B合同，我们也称它们对应的二次型XTAX和YTAY合同。 根据上面的结果不难证明: 两个对称矩阵A,B合同的充要条件是：A,B有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数。 定义3 注：§6.1合同矩阵的定义 定义 例如 为正定二次型 为负定二次型 正定矩阵的简单性质 定理 证明 (1)充分性 (2)必要性 注：取xi=1, xj=0(j?i), 代入二次型, 得f(0,...,0,1,0,...,0)=ki0 综合(1)，(2)命题成立！ 证毕！ 推论 对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 定理 证明 证毕！ 由上述两个结论可见，一个二次型XTAX(或实对称矩阵A)，通过可逆(非退化)线性变换X=CY，将其化成标准型(或规范形) 或将A合同于对角阵，即CTAC=Λ，就容易判别其正定性。 根据上面的定理，可以得到判别二次型是否正(负)定的几个等价的条件： 定理 证明：略（P121） 证 (i)?(ii) 对于A, 存在可逆阵C使得 CTAC=diag(d1,d2,...,dn). 令X=CY就有 XTAX=YT(CTAC)Y=d1y12+d2y22+...+dnyn2如有一个di?0, 则上式必不恒大于零, 与命题(i)矛盾, 故A的正惯性指数为n, 从而A?I. (ii)?(iii) 由CTAC=I(C可逆), 得A=(CT)-1C-1=(C-1)TC-1, 取P=C-1, 则有A=PTP. 定理 若A是n阶实对称矩阵, 则下列命题等价:(i) XTAX是正定二次型(或A是正定矩阵);(ii) A的正惯性指数为n, 即A?I;(iii) 存在可逆阵P,