第4章智能仪器的基本数据处理算法.ppt

周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 2.建模方法之一：代数插值法 代数插值： 　设有n+1组离散点：(x0, y0)，(x1, y1)，…，(xn, yn)，x∈[a，b]和未知函数f(x)，就是用n次多项式 去逼近f(x)，使Pn(x)在节点xi处满足 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 系数an，…，a1，a0应满足方程组 要用已知的（xi, yi）(i = 0, 1, …, n)去求解方程组，即可求得ai(i = 0, 1, …, n)，从而得到Pn(x)。此即为求出插值多项式的最基本的方法。 对于每一个信号的测量数值xi就可近似地实时计算出被测量yi = f(xi)≈Pn(xi)。 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 最常用的多项式插值有：线性插值和抛物线（二次）插值。 (1)线性插值：从一组数据（xi, yi）中选取两个有代表性的点（x0, y0）和（x1, y1），然后根据插值原理，求出插值方程 y x Vi = | P1 (Xi)－f (Xi) |, i = 1, 2, …, n – 1若在x的全部取值区间[a, b]上始终有Vi＜ε(ε为允许的校正误差)，则直线方程P1(x) = a1x+a0就是理想的校正方程。 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 线性插值举例 0～490℃的镍铬—镍铝热电偶分度表如表4.1。若允许的校正误差小于3℃，分析能否用直线方程进行非线性校正。 　　取A（0, 0）和B（20.12, 490）两点，按式（4.23）可求得a1 = 24.245，a0 = 0，即P1(x) = 24.245x，此即为直线校正方程。显然两端点的误差为0。通过计算可知最大校正误差在x = 11.38mV时，此时P1(x) = 275.91。误差为4.09℃。另外，在240～360℃范围内校正误差均大3℃。即用直线方程进行非线性校正不能满足准确度要求。 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 (2)抛物线插值（二阶插值）： 在一组数据中选取（x0, y0），（x1, y1），（x2, y2）三点，相应的插值方程 y x f（x） P（X） x0 y0 y1 y2 x2 x1 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 现仍以表4.1所列数据说明抛物线插值的个体作用。节点选择（0，0），（10.15，250）和（20.21，490）三点 可以验证，用此方程进行非线性较正，每点误差均不大于3℃，最大误差发生在130℃处，误差值为2.277℃ 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 提高插值多项式的次数可以提高校正准确度。考虑到实时计算这一情况，多项式的次数一般不宜取得过高，当多项式的次数在允计的范围内仍不能满足校正精度要求时，可采用提高校正精度的另一种方法— 　　(3) 分段插值法： 这种方法是将曲线y = f (x) 分成N段，每段用一个插值多项式Pni (x)进行非线性校正（i=1, 2, …N）。 　等距节点分段插值和不等距节点分段插值两类。 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 ① 等距节点分段插值: 适用于非线性特性曲率变化不大的场合。分段数N及插值多项式的次数n均取决于非线性程度和仪器的精度要求。非线性越严重或精度越高，则N取大些或n取大些，然后存入仪器的程序存储器中。实时测量时只要先用程序判断输入x（即传感器输出数据）位于折线的哪一段，然后取出与该段对应的多项式系数并按此段的插值多项式计算Pni (x)，就可求得到被测物理量的近似值。 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 ② 不等距节点分段插值对于曲率变化大的非线性特性，若采用等距节点的方法进行插值，要使最大误差满足精度要求，分段数N就会变得很大（因为一般取n≤2）。这将使多项式的系数组数相应增加。此时更宜采且非等距节点分段插值法。即在线性好的部分，节点间距离取大些，反之则取小些，从而使误差达到均匀分布 。 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 3.建模方法之二：曲线拟合法 曲线拟合，就是通过实验获得有限对测试数据（xi, yi）,利用这些数据来求取近似函数y= f ( x )。式中x为采集结果，y为被测物理量。与插值不同的是，曲线拟合并不要求y= f ( x )的曲线通过所有离散点（xi, yi），只要求y= f ( x )反映这些离散点的一般趋势，不出现局部波动。 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 最小二乘法连续函数拟合 自变量x与因变量y之间的单值非线性关系可以自变量x的高次多项式来逼近 对于n个实验数据对（xi，yi）（i =1，2，…，n），则可得如下n个方程 周鹏 安徽工程大学电气工程学院电科教研室 解即为aj（