第4章曲线和曲面.ppt

第k+1段曲线，由Pk+1,Pk+2,Pk+3,Pk+4确定，该曲线的起点坐标和起点处一阶导数、二阶导数分别为： 综上有：Pk,3(1)=Pk+1,3(0); Pk,3’(1)=Pk+1,3’(0); Pk,3’’(1)=Pk+1,3’’(0); 因此：三次B样条曲线具有二阶参数连续性。 4.5.4 三次B样条曲线的算法 为了使三次B样条曲线以特征多边形的P0点为始点，且与P0P1相切；以Pn为终点，且与Pn-1Pn相切，则构造该曲线的方法为： （1）增加点P-1，且P-1=2P0-P1 （2）增加点Pn+1，且Pn+1=2Pn-Pn-1 在具体实现时，采用数组存放特征多边形的顶点坐标，数组下标从0开始，因此将P-1存放在下标为0的数组元素内，将Pi存放在下标为i+1的数组元素内。增加两个点后，n个顶点确定的三次B样条曲线一共有n-1段。 三次B样条曲线算法 * * * * * 4.4.5 Bezier曲线几何作图法 上节我们给出了直接利用Bezier曲线的定义实现曲线的拟合。但多项式计算的快慢会直接影响绘制相应曲线的速度，为此，我们给出采用贝齐尔曲线的几何作图法，以避免多项式的计算。下面先将Bezier多项式作一些变换： 若记Pk,l(t)表示由Pk, Pk+1,...,Pl作为控制点的Bezier曲线，那么上式可写为： P0,n(t)=(1-t)P0,n-1(t)+tP1,n(t) 上式表明，要计算由P0, P1,...,Pn这n+1个点为控制点的Bezier曲线在t时的值，可以先计算由P0, P1,...,Pn-1为控制点的Bezier曲线在t时的值P0,n-1(t)及由P1, P2,...,Pn为控制点的Bezier曲线在t时的值P1,n(t)，然后在这两个值所代表的点之间连一条直线段。在直线段上取一点，使它和P0,n-1(t)这一点的距离与该直线段长度之比为t，该点对应的就是P(t)。 geometry(int m, p, pt, dt) 　/*P存放m+1个给定控制点的坐标，pt存放结果，dt是t的增量*/ { int i,j,k,l,n; float *r,*q,t; l=0; 　for(t=0;t=1;t=t+dt) 　{ for(i=0;i=m;i++) 　　　r[i]=p[i]; n=m; 　　 while(n0) 　　 { for(k=0;kn;k++) 　　　　q[k]=r[k]+t*(r[k+1]-r[k]); 　　 　 n=n-1; 　　 　for(j=0;j=n; j++) r[j]=q[j]; 　　 } 　　pt[l]=r[0]; 　　　　　 　　l=l+1; 　} } Bezier曲线几何作图法的C语言描述： 已知Bezier 曲线上给定参数处的位置矢量和参数阶次，利用Bezier 曲线定义和端点特性，可列出一组方程，求解方程组，就可得到相应的控制顶点。 例如，已知三次Bezier 曲线上的4 个点分别为Q0(120, 0), Q1(45, 0), Q2(0, 45), Q3(0, 120), 它们对应的参数分别为0, 1/3, 2/3, 1, 反求三次Bezier 曲线的控制顶点。 由已知条件可得方程组： Q0 = P0 (t=0) Q1 = (8/27)P0 + (4/9)P1 + (2/9)P2 + (1/27)P3 (t=1/3) Q2 = (1/27)P0 + (2/9)P1 + (4/9)P2 + (8/27)P3 (t=2/3) Q3 = P3 (t=1) 4.4.6 Bezier曲线的顶点反求 分别将Q0、Q1、Q2、Q3的x、y坐标代入方程组求解，可得 P0(120, 0) P1(35, -27.5) P2(-27.5, 35) P3(0, 120) 4.4.7 Bezier曲线的拼接 设有两条Bezier曲线P(u)和Q(w)，其控制顶点分别为：P0, P1, P2,.., Pm和Q0, Q1, Q2,…,Qn： 4.4.7 Bezier曲线的拼接 现考虑两条曲线的拼接，一阶几何连续的条件如下： 根据端矢量条件： P?(1)=m(Pm-Pm-1) Q?(0)=n(Q1-Q0) 其一阶几何连续的条件为： P?(1)=?Q?(0) 即 Q1=Q0+m/(?n)*(Pm-Pm-1) 4.4.8 Bezier曲面 设Pij(i=0,1,…,m; j=0,1,…n)为(m+1)*(n+1)个空间点列，则m*n次Bezier曲面定义为： 其中，