《图论》第章图的着色.pptVIP

人工智能 华中科技大学水电与数字化工程学院 第六章 图的着色 图的着色包括对边、顶点和平面区域的着色。本章主要讨论简单图的顶点着色。 第六章 图的着色 [解]以该矩阵为邻接矩阵构造图如上所示。给图的顶点染色使得相邻点具有不同颜色，最少需要3种颜色。 6.1 色数 [着色] 图 G=(V,E) 的一个 k 顶点着色指用 k 种颜色对G的各顶点的一种分配方案。若着色使得相邻顶点的颜色都不同，则称该着色正常，或称G存在一个正常的 k 顶点着色（或称一个 k 着色）。此时称G为 k-可着色的。 [色数] 使 G=(V, E) k-可着色的最小 k 值称为G的色数，记为 ?(G)。若 ?(G)=k，称G为 k 色图。 6.1 色数 [例] 三色图 6.1 色数 [特殊图的色数] ① 零图：?(G)=1 ② 完全图 Kn：?(G)=n ③ G是一条回路：?(G)=2 若|V|是偶数 ?(G)=3 若|V|是奇数 ④ G是一棵非平凡树： ?(G)=2 ⑤ ?(G)=2的充要条件是: (a) |E|?1；(b) G中不存在边数为奇数的回路。（此时G为二部图） ⑥ 若G1、G2为G的两个连通分支，则 ?(G)=max{?(G1), ?(G2)} 6.1 色数 ⑤ ?(G)=2的充要条件是: (a) |E|?1；(b) G中不存在边数为奇数的回路。（此时G为二部图） [证明] 必要性显然。充分性： 由 (a) |E|?1知 ?(G)?2。 对G中的某一连通分支，找到其一棵生成树，对顶点做二染色。加上任意一条余树枝，得到对应的唯一回路。由 (b) 知该回路长度为偶数， 该余树枝两个端点染的是不同颜色，添加该余树枝后仍然可以保持原来的二染色。加上所有余树枝，得到图G，二染色仍得到保持，即?(G)=2。 6.1 色数 [临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有 ?(H)?(G)，则称G为一个临界图。 k 色临界图称为 k-临界图。 [性质] ① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得到其 k-临界子图。 ② 临界图是连通图。 证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则 ?(G)=max{?(G1), ?(G2)}。不妨设 ?(G)=?(G1)，而G1为G的真子图，与临界图的定义矛盾。 6.1 色数 [定理6-1-1] k-临界图G=(V, E), ? =min{deg(vi)|vi?V}, 则? ?k-1。 [证明]反证法：设G是一个 k-临界图且 ? k-1。又设v0?V，deg(v0)= ?。由 k-临界图的定义，G?v0 是 (k?1)可着色的，在一种 k?1着色方案下，G?v0 的顶点可按照颜色划分成 V1,V2, …, Vk-1 共 k?1块，块Vi中的顶点被涂以颜色 ci。由于deg(v0) k?1，v0至少与其中一块Vj不邻接即与Vj中的任何顶点不邻接。此时可将 v0 涂以颜色 cj，从而获得对G的一种k?1着色方案，与G的色数是 k 矛盾。 6.1 色数 [推论1] k 色图至少有 k 个度不小于 k-1 的顶点。 [证明] 设 k 色图G的 k-临界子图为G?，由定理G? 的最小度 ? ? ? k-1，故G的最小度 ? ? ? ??k-1，即G的任何顶点的度不小于 k-1。又G为 k 色图，其中至少有 k 个顶点。 6.1 色数 [推论2] 对G=(V, E)， ?=max{deg(vi)|vi?V}，则 ?(G) ? ?+1。 [证明] 设 ?(G)=k，由推论1，有v?V，使得 deg(v) ? k-1 又： deg(v) ? ? 故： ? ? k-1 或 ? ? ?(G)-1 即： ?(G) ? ?+1 推论2给出了色数的一个上限，但很不精确。 [例] 二部图可二染色，但是?可以相当大。 6.1 色数 [Hajós猜想] 若G是 k 色图, 则G包含 Kk 的一个同胚图。(1961) [四色猜想] 任何平面图都是 4-可着色的。 由于存在着不可3-着色的平面图K4，4色问题若可证明，将是平面图色数问题的最佳结果。 6.1 色数 [定理6-1-2] 如果平面图G有Hamilton回路，则G的域是4-可着色的。 [证明] 平面图G的一条Hamilton回路将G的域分割成两部分：被封闭的H-回路包围部分和在H-回路之外部分。每一部分中只能出现两域相邻的情况，否则同一部分内三个域的交点将不在H-回路上，引起矛盾。将两部分的域分别以2着色，得到G的一种4着色方案。 6.1 色数 [五色定理] (1890, Heaword) 任何简单平面图都是 5-可着色的。 [证明]设简单平面图G=(V, E)，对