初等因子与相似条件.pdfVIP

第二章 λ-矩阵及Jordan标准形 a λ a λ  a λ  11 ( ) 12 ( ) 1n ( )    a λ a λ  a λ  21 ( ) 22 ( ) 2n ( )  A λ ( )      a λ a λ  a λ   m 1 ( ) m 2 ( ) mn ( ) 李思泽 lsz00@163.com 第二节 初等因子与相似条件 数字矩阵相似的充要条件 λ-矩阵的初等因子 数字矩阵的不变因子及初等因子 第二章 λ-矩阵及Jordan标准形 2 矩阵相似的条件 一、数字矩阵相似与其特征矩阵的关系 定理7 设A , B是数域P上两n阶矩阵. 则 A 与B相似 ⇔ 特征矩阵λE – A 与λE – B等价. 证明: ⇒: 设B = P -1 AP , 则λE – B = λE – P -1 AP = λP -1 EP – P -1 AP = P -1(λE – A)P. 故λE – A 与λE – B等价. ⇐: 详证略. 简证看下面: 引理1 若n阶数字矩阵P和Q使λE–A = P(λE–B)Q, 则A 与B相似. 证明: P (λE −B )Q λPQ −PBQ , 故 PQ E , PBQ A, 从而Q−1 P , PBP −1 A . 第二章 λ-矩阵及Jordan标准形 3 矩阵相似的条件 二、初等因子 定义7λ-矩阵A (λ) 的不变因子d (λ) (1≤k≤ r) 总可分解 k 为一次因式的方幂: k k k d ( ) ( ) 11 ( ) 12 ( ) 1t λ ,λ , ,λ 是d (λ) λ λ λ λ λ λ λ − −  − 1 2 t 1 1 2 t r d (λ) (λ−λ )k21 (λ−λ )k22 (λ−λ )k2 t 的全部互异零点. 2 1 2 t  k k k d (λ) (λ−λ ) r 1 (λ−λ )