实验一教堂顶部曲面面积的计算方法.doc

实验一 教堂顶部曲面面积的计算方法 成员：葛宇200805020035 徐帅200811090001 一、实验目的 本试验主要涉及微积分， 通过试验将复习曲面面积的计算、 重积分和 Taylor 展开等知识；另外将介绍重积分的数值计算法和取得函数近似解析 表达式的摄动方法。 二、实验方法 1、数学模型 建立适当的坐标系，曲面方程可写z=f(x,y),而其表面积为。通常此积分相当复杂，必须用近似方法处理。 2、数值积分方法 对于二重积分，可以如同一元函数定积分那样，将区域划分为小块，然 后在每个小区域上对被积函数作近似简化求积 ，再把所得的值求和即可。 考虑矩形区域上的二重积分 将 D 划分 mn 个相等的小矩形， s和t分别是s和t方向的分点：， 而,那么小矩形上的积分可写为 记 则 若对这两个单积分都用梯形法 ，就有 而 这样便可求得在D上的积分 I 的近似值 当将分点增加一倍使得 而记 那么对 的两次积分都用 Simpson 法，就得到 从而 于是有积分 I的近似值为 3、摄动方法 摄动方法就是对解析式中的小参数进行展开，从而求得近似解析解的方法，应用于积分计算，常常是采取将被积函数（或其部分）展开的方法，我们先通过一个简单例子来说明这方法。 对于计算 利用Taylor公式，关于参数展开，有 余项的写法考虑到了 我们称级数为函数的渐近级数，通常应用渐进级数的有限项来近似函数。例如，在这里把前n+1 项替换代入积分式(2.14)，那么由于 可得 当 时，用上式前5项计算的误差不超过0.01，可见这方法是相当有效的。 三、实验任务 1. 用近似格式（2.10）计算教堂顶部面积，与用格式（2.8）计算的结果 相比较； 2. 试用数学软件直接计算面积 (2.3)； 3. 在俄国沙皇的宫廷宝藏中，有许多复活节蛋，它们大都以金银制作，装 饰着或者内藏着各种钻石。其中有一中较大的金“蛋”，“蛋”壳的外层表面是一 个椭球面，其半长轴、半短轴和半立轴分别为 8cm、5.2m 和 5cm。“蛋”壳的 厚度为 0.24cm，重量是 1680g。 试问：这只复活节蛋的壳是否用纯金制作的?（金的密度是19.2g/cm） 4. 建筑商人哈桑在对另一座伊斯兰建筑物顶部表面进行装饰时，他碰到的 是一个类似半球面、然而又具有一些其他变化规律的曲面，哈桑这次仍要对 该建筑物的顶部贴以金箔，我们可以确切地用球坐标表示该曲面方程，为 其中 R＝30（m），(请考虑一下，这是怎样地一个曲面？)如果由技术和损耗的因素将使用料比实际面积多1.6%，那么装饰这个顶部至少需要多少金箔? 试用数值方法和摄动方法分别求解这个问题，并将两种方法的结果比较。 （注意：这里给出的曲面方程是参数形式的，因此首先需要弄清这种情况下曲面的计算式有什么变化。） 四、试验程序及输出结果 %实验一的程序 a=30.6; b=29.6; r=30; p=10; c=0:2*pi/(2*p):2*pi; d=0:1/(2*p):1; for i=1:2*p+1 for j=1:2*p+1 f(i,j)= sqrt(d(j)^2+r^2*(1-d(j)^2)*((cos(c(i))/a)^2+(sin(c(i))/b)^2)); end end for i=2:2:2*p for j=2:2:2*p I(i,j)=2*pi/(9*4*p^2)*(f(i-1,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j+1)+f(i+1,j+1)+4*(f(i,j-1)+f(i-1,j)+f(i+1,j)+f(i,j+1))+ 16*f(i,j)); end end IS=sum(sum(I)); Re=a*b*IS; sprintf(问题一：实验一用simpson法算得的表面积为% 8.8f,Re) fun1= inline(30.6*29.6*sqrt( x.^2 + 30^2*(1-x.^2)*((cos(y)/30.6)^2+(sin(y)/29.6)^2) ),x,y); fun2= inline(8*5.2*sqrt( x.^2 + 5^2*(1-x.^2)*((cos(y)/8)^2+(sin(y)/5.2)^2) ),x,y); % fun3=inline(1+x-x+y+z-y-z,x,y,z); Re=dblquad(fun1,0,1,0,2*pi); s