离散数学第四篇图平面图及图的着色.ppt

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离散数学第四篇图平面图及图的着色

7-5,7-6 平面图及图的着色 本章说明 本章所涉及到的图均指无向图。 7-5-1 平面图的基本概念 7-5-2 欧拉公式 7-5-3 平面图的判断 7-6-1 平面图的对偶图 7-6-2 图中顶点的着色 7-6-3 地图的着色与平面图的点着色 7-6-4 边着色 本章小结 习 题 7-5-1 平面图的基本概念 (2)是(1)的平面嵌入,(4)是(3)的平面嵌入。 2、 几点说明及一些简单结论 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入,但讨论某些性质时,一定是指平面嵌入。 K5和K3,3都不是平面图。 定理7-5-1 设G??G,若G为平面图,则G?也是平面图。 定理7-5-2 设G??G,若G?为非平面图,则G也是非平面图。 推论 Kn(n?5)和K3,n(n?3)都是非平面图。 定理7-5-3 若G为平面图,则在G中加平行边或环所得图还是平面图。 即平行边和环不影响图的平面性。 二、平面图的面与次数(针对平面图的平面嵌入) 1、 定义 定义7-5-2 设G是平面图, G的面——由G的边将G所在的平面划分成的每一个区域。 无限面(外部面)——面积无限的面,记作R0。 有限面(内部面)——面积有限的面 ,记作R1, R2, …, Rk。 面Ri的边界——包围面Ri的所有边组成的回路组。 面Ri的次数——Ri边界的长度,记作deg(Ri)。 2、几点说明 若平面图G有k个面,可笼统地用R1, R2, …, Rk表示,不需要指出外部面。 回路组是指:边界可能是初级回路(圈),可能是简单回路,也可能是复杂回路。特别地,还可能是非连通的回路之并。 定理7-6-1 平面图G中所有面的次数之和等于边数m的两倍,即 三、极大平面图 1、 定义 定义7-5-3 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之间加一条新边所得图为非平面图,则称G为极大平面图。 注意:若简单平面图G中已无不相邻顶点,G显然是极大平面图,如K1(平凡图), K2, K3, K4都是极大平面图。 2、极大平面图的主要性质 定理7-6-2 极大平面图是连通的。 定理7-6-3 n(n?3)阶极大平面图中不可能有割点和桥。 定理7-6-4 设G为n(n?3) )阶简单连通的平面图,G为极大平面图当且仅当G的每个面的次数均为3。 只有右边的图为极大平面图。 因为只有该图每个面的次数都为3。 四、极小非平面图 定义7-6-1 若在非平面图G中任意删除一条边,所得图G?为平面图,则称G为极小非平面图。 由定义不难看出: K5, K3,3都是极小非平面图。 极小非平面图必为简单图。 例如:以下各图均为极小非平面图。 7-5-2 欧拉公式 一、欧拉公式相关定理 1、 欧拉公式 定理7.8 对于任意的连通的平面图G,有 n-m+r=2 其中,n、m、r分别为G的顶点数、边数和面数。 (3)设m=k(k≥1)时成立,当m=k+1时,对G进行如下讨论。 若G是树,则G是非平凡的,因而G中至少有两片树叶。 设v为树叶,令G=G-v,则G仍然是连通图,且G的边数m=m-1=k,n=n-1,r=r。 由假设可知 n-m+r=2,式中n,m,r分别为G的顶点数,边数和面数。 于是n-m+r=(n+1)-(m+1)+r=n-m+r=2 若G不是树,则G中含圈。 设边e在G中某个圈上,令G=G-e,则G仍连通且m=m-1=k, n=n,r=r-1。 由假设有 n-m+r=2。 于是 n-m+r=n-(m+1)-(r+1)=n-m+r=2 定理7.9 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图G,有 n-m+r = k+1 其中n,m,r分别为G的顶点数,边数和面数。 2、 与欧拉公式有关的定理 定理7-5-10 设G为连通的平面图,且每个面的次数至少为l(l?3),则 G的边数与顶点数有如下关系: 推论 K5, K3,3不是平面图。 定理7-5-11 设G是有k(k≥2)个连通分支的平面图,各面的次数至少为l(l≥3),则边数m与顶点数n应有如下关系: 定理7-5-13 设G为n(n?3)阶m条边的极大平面图,则m=3n?6。 二、一个意义重大的定理 定理7-5-14 设G为简单平面图,则G的最小度?(G)?5。 定理7-6-4 设G为n(n?3) )阶简单连通的平面图,G为极大平面图当且仅当G的每个面的次数均为3。(仅证充分性) 7-5-3 平面图的判断 2、图之间的同胚 定义7-6-3 若两个图G1与G2同构,或通过反复插入或消去2度顶点后是同构的,则称G1与G2是同胚的。 二、两个判断定理 定理7-5-15

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