第六章刚体运动.ppt

第六章：刚体运动 (拉氏量方法应用) P105 均匀滚动圆柱，求动能 如图几何情况，有质心平动速度大小，方向 对质心不动坐标系，转动速度＝相对速度/相对距离： （地面接触点速度为0，动坐标系其相对圆心速度为aomega,静止坐标系圆心相对它速度也为a omega,故为0） 方向 其中 注意坐标系，z方向在运动过程中不变 P105均匀圆锥平面上滚动 几何如上图 质心位置、质心速度 2alpha是圆锥顶角 投影 相对转动轴(注:OA 不经过质心)转动速度，同上题 质心在OA上投影，相对速度/相对距离 选主轴，算角度在轴上投影 圆锥主轴：x3重合圆锥轴，x2垂直于OA和圆锥轴. 角速度(OA)投影为 相应的主转动惯量 圆锥主转动惯量 计算技巧 P113下端点固定，对称陀螺重力场中运动问题 几何图示、运动学量、运动方程。。。 固定点运动！ 拉氏量，见35节 (35.2)和(32.12) 坐标选取 L:质点到顶点距离 注意：这里的方向都是在x1,x2,x3方向，换句话 角速度的分量都是在x1,x2,x3方向的投影，故相应的 转动惯量也是在x1,x2,x3中的！故是常数,因为x1,x2,x3同刚体. 这是不同于选取X，Y，Z坐标系来表示角速度方向的情况！ 矢量和其分量：矢量本身与坐标系无关，分量是和坐标系有关. Or : 由此，得到 其中 又能量守恒 可求得 结合能量守恒，可得 求得 代入前面，即可得到其他欧拉角关于时间的函数关系！ 具体的位形分析。。。。。 研读下 假设 做变量代换(方便) 引入参数 最后有 选择初始时间 比较前面能量守恒求一维运动！ 可积分得 雅克比椭圆函数 JacobiSN[u, m], JacobiCN[u, m], 由此可得其他变量的时间变化关系，最后有 周期函数，周期为4K,K为第一类椭圆函数. 对时间的周期为 当I1=I2时，回到对称陀螺公式 当 时 陀螺在空间的绝对运动 (相对固定坐标系,注前面用的是欧拉方程！) 引入x1,x2,x3和X,Y,Z间的欧拉角 由此 取M沿Z方向 进一步 另，对phi角，有 消去无关量 积分结果！ 讨论 不做要求 其他 周期函数之和！ 38.刚体接触 不要要求 39.非惯性参考系中的运动 运动方程的变换归结为 Euler方程形式不变 1：假设参考系K0，K’ 相对速度V(t)，则 某个函数对时间的全导数 (可舍去) r’为质点在参考系K’中的径矢 代入L，舍去全导数，可得 Euler方程 等价于一个均匀立场 2：参考系K,K’有共同原点，有相对角速度 (质点在K，K‘中的径矢重合) 代入L，有 物理意义? Euler方程 运动方程 物理意义 转动参考系产生的“力”3部分 科里奥利力；等速转动 离心力；等速转动 非等速转动 大小，方向…. 没有平动且等速转动情况 (质点对比刚体,只是自由度坐标…) 能量 代入 回忆能量的最本质定义时间平移不变。。。 离心势能 故 但能量不相等 总结习题 本章内容：4个参照系，两组广义坐标以及关于“矢量”约定(运动学) 拉氏量(动力学) 固定参照系K0 ： O,X,Y,Z. 固定参照系K0’ ：坐标原点取刚体质心,X,Y,Z 惯性参照系坐标K’： 坐标原点取刚体质心,且瞬时无相对速度. 动坐标系K ：与刚体固连,坐标原点取刚体质心， 任意时刻无相对速度. 广义“坐标”(角度部分)： 角速度 欧拉角 对比非惯性系变换情况， 我们用同样的标记！ Ex： 1： 转动惯量各分量与所选轴的关系 2： 角速度是刚体K相对K’的转动方向和大小(即绕质心) 换句话说，也是K’相对K的负转动方向和大小 3：“固有”动量距是刚体在K’中的瞬时角动量 在该时刻：下标表示K’中的分量 注意：质心固定下，对于球对称刚体，无论轴怎么选取， I都是固定，角动量总是平行于角速度。 一般情况下，在K0,K0’,K’中I是随时间变化的? （不对, I是在固连坐标系中看到的,Omega是固连坐标相对固定坐标系的，L已经包含了全部的信息.） 4： 运动方程形式1 这里的角动量可以是K’中的，也可以是K0,K0’中的， 因为两者都是惯性参考系！ （注:还不完全，成立与否看L量的变化，大部分情况下成立） 但注意，不是K中观察到的分量！ “矢量”