第六章刚体运动.ppt

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第六章刚体运动

第六章:刚体运动 (拉氏量方法应用) P105 均匀滚动圆柱,求动能 如图几何情况,有质心平动速度大小,方向 对质心不动坐标系,转动速度=相对速度/相对距离: (地面接触点速度为0,动坐标系其相对圆心速度为aomega,静止坐标系圆心相对它速度也为a omega,故为0) 方向 其中 注意坐标系,z方向在运动过程中不变 P105均匀圆锥平面上滚动 几何如上图 质心位置、质心速度 2alpha是圆锥顶角 投影 相对转动轴(注:OA 不经过质心)转动速度,同上题 质心在OA上投影,相对速度/相对距离 选主轴,算角度在轴上投影 圆锥主轴:x3重合圆锥轴,x2垂直于OA和圆锥轴. 角速度(OA)投影为 相应的主转动惯量 圆锥主转动惯量 计算技巧 P113下端点固定,对称陀螺重力场中运动问题 几何图示、运动学量、运动方程。。。 固定点运动! 拉氏量,见35节 (35.2)和(32.12) 坐标选取 L:质点到顶点距离 注意:这里的方向都是在x1,x2,x3方向,换句话 角速度的分量都是在x1,x2,x3方向的投影,故相应的 转动惯量也是在x1,x2,x3中的!故是常数,因为x1,x2,x3同刚体. 这是不同于选取X,Y,Z坐标系来表示角速度方向的情况! 矢量和其分量:矢量本身与坐标系无关,分量是和坐标系有关. Or : 由此,得到 其中 又能量守恒 可求得 结合能量守恒,可得 求得 代入前面,即可得到其他欧拉角关于时间的函数关系! 具体的位形分析。。。。。 研读下 假设 做变量代换(方便) 引入参数 最后有 选择初始时间 比较前面能量守恒求一维运动! 可积分得 雅克比椭圆函数 JacobiSN[u, m], JacobiCN[u, m], 由此可得其他变量的时间变化关系,最后有 周期函数,周期为4K,K为第一类椭圆函数. 对时间的周期为 当I1=I2时,回到对称陀螺公式 当 时 陀螺在空间的绝对运动 (相对固定坐标系,注前面用的是欧拉方程!) 引入x1,x2,x3和X,Y,Z间的欧拉角 由此 取M沿Z方向 进一步 另,对phi角,有 消去无关量 积分结果! 讨论 不做要求 其他 周期函数之和! 38.刚体接触 不要要求 39.非惯性参考系中的运动 运动方程的变换归结为 Euler方程形式不变 1:假设参考系K0,K’ 相对速度V(t),则 某个函数对时间的全导数 (可舍去) r’为质点在参考系K’中的径矢 代入L,舍去全导数,可得 Euler方程 等价于一个均匀立场 2:参考系K,K’有共同原点,有相对角速度 (质点在K,K‘中的径矢重合) 代入L,有 物理意义? Euler方程 运动方程 物理意义 转动参考系产生的“力”3部分 科里奥利力;等速转动 离心力;等速转动 非等速转动 大小,方向…. 没有平动且等速转动情况 (质点对比刚体,只是自由度坐标…) 能量 代入 回忆能量的最本质定义时间平移不变。。。 离心势能 故 但能量不相等 总结习题 本章内容:4个参照系,两组广义坐标以及关于“矢量”约定(运动学) 拉氏量(动力学) 固定参照系K0 : O,X,Y,Z. 固定参照系K0’ :坐标原点取刚体质心,X,Y,Z 惯性参照系坐标K’: 坐标原点取刚体质心,且瞬时无相对速度. 动坐标系K :与刚体固连,坐标原点取刚体质心, 任意时刻无相对速度. 广义“坐标”(角度部分): 角速度 欧拉角 对比非惯性系变换情况, 我们用同样的标记! Ex: 1: 转动惯量各分量与所选轴的关系 2: 角速度是刚体K相对K’的转动方向和大小(即绕质心) 换句话说,也是K’相对K的负转动方向和大小 3:“固有”动量距是刚体在K’中的瞬时角动量 在该时刻:下标表示K’中的分量 注意:质心固定下,对于球对称刚体,无论轴怎么选取, I都是固定,角动量总是平行于角速度。 一般情况下,在K0,K0’,K’中I是随时间变化的? (不对, I是在固连坐标系中看到的,Omega是固连坐标相对固定坐标系的,L已经包含了全部的信息.) 4: 运动方程形式1 这里的角动量可以是K’中的,也可以是K0,K0’中的, 因为两者都是惯性参考系! (注:还不完全,成立与否看L量的变化,大部分情况下成立) 但注意,不是K中观察到的分量! “矢量”

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