第章导热微分方程推导PPT.ppt

韩风双 手机号： 688152 Email: hanfengshuang@ 第二章 导热的基本定律及稳态导热 §2-1 导热的基本概念和定律 §2-2 导热微分方程 §2-3 一维稳态导热 §2-4 通过肋片的导热分析 温度场 t = f (x, y, z,τ ) 等温面与等温线 t t-Δt t+Δt 等温线疏密程度的物理意义 温度梯度 热流密度矢量 t+Δt t t-Δt gradt §2-1 导热的基本概念和定律 导热系数 影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。 不同物质的导热性能不同： § 2-2 导热微分方程式及定解条件 确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 傅里叶定律 确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场: t = f (x, y, z,τ ) W/(m·oC) 理论基础：傅里叶定律+ 热力学第一定律 一、导热微分方程的推导 定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度qv [W/m3];内热源均匀分布；qv 表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量 导热体内取一微元体 热力学第一定律： W = 0, ∴ Q = ΔU Q ：微元体与环境交换的热 ?Ｕ ：微元体热力学能（内能）的增量 W ：微元体与环境交换的功 ?Ｕ = Q ＋ W dτ 时间内微元体中： [导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增加] [导入与导出净热量] Q = ΔU Q 导入与导出净热量 内热源发热量 dτ 时间内、沿x 轴方向、 经x+dx 表面导出的热量： dQx+dx= qx+dx dydz ?dτ [J] dτ 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量： dτ 时间内、沿x 轴方向、 经x 表面导入的热量： dQx= qx dydz?dτ [J] [J] 1、导入与导出微元体的净热量 dτ 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量： dτ 时间内、沿y 轴方向导入与导出微元体净热量： dτ 时间内、沿z 轴方向导入与导出微元体净热量： [导入与导出净热量]: [J] [J] [J] [J] [导入与导出净热量]: 傅里叶定律： [J] [J] [导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增加] 2、 微元体内热源的发热量 d?时间内微元体中内热源的发热量： [J] 3、微元体热力学能的增量 dτ 时间内微元体中热力学能的增量： [导入与导出净热量] [内热源发热量] [热力学能的增加] [1] + [2] = [3] [导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增加] 由[1]+ [2]= [3]： 笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。 非稳态项 源项 扩散项 导热微分方程式 简化该式： ①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数： 式中， -热扩散率，m2/s. 或 （Thermal diffusivity） ?2 — 拉普拉斯算子 热扩散率a 反映了导热过程中材料的导热能力（ λ ）与沿途物质储热能力（ ρ c ）之间的关系。 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。 a木材=1.5×10?7 m2/s , a铝= 9.45×10?5 m2/s ， a铝 / a木材 ≈600 a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力。 ②若物性参数均为常数，且无内热源 或 简化该式： ③若物性参数均为常数，且无内热源 ，稳态导热 ①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数： 或 或 二、其他坐标下的导热微分方程 （r, ?, z） x = r cos? ; y = r sin? ; z = z 1. 对于圆柱坐标系 2. 对于球坐标系（r, θ, ?） x = r sinθ ? cos? ; y = r sinθ ? sin? ; z = r cosθ 三、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。 3 ）若属极低温度（ -2