第章差错控制技术.ppt

循环码的运算 整数的按模运算 在整数运算中，有模n运算。例如，在模2运算中，有 1 + 1 = 2 ? 0 (模2)， 1 + 2 = 3 ? 1 (模2)， 2 ? 3 = 6 ? 0 (模2) 等等。 一般说来，若一个整数m可以表示为 式中，Q为整数，则在模n运算下，有 m ? p (模n) 所以，在模n运算下，一个整数m等于它被n除得的余数。 码多项式的按模运算 若任意一个多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，即 则在按模N(x)运算下，有 这时，码多项式系数仍按模2运算。 例1：x3被(x3 + 1)除，得到余项1，即 例2： 因为 x x3 + 1 x4 +x2 + 1 x4 +x x2 +x +1 在模2运算中加法和减法一样。 循环码的数学表示法 在循环码中，设T(x)是一个长度为n的码组，若 则T? (x)也是该编码中的一个码组。 [证] 设一循环码为 则有 上式中的T? (x) 正是码组T (x)向左循环移位 i 次的结果。 例： 一循环码为1100101，即 若给定 i = 3，则有 上式对应的码组为0101110，它正是T(x)向左移3位的结果。 结论：一个长为n的循环码必定为按模(xn + 1)运算的一个余式。 循环码的生成 有了生成矩阵G，就可以由k个信息位得出整个码组： 例： 式中， 生成矩阵G的每一行都是一个码组。 因此，若能找到 k 个已知的码组，就能构成矩阵G。如前所述，这k个已知码组必须是线性不相关的。 在循环码中，一个(n, k)码有2k个不同的码组。若用g(x)表示其中前(k-1)位皆为“0”的码组，则g(x)，x g(x)，x2 g(x)，?，xk-1 g(x)都是码组，而且这k个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵G。 在循环码中除全“0”码组外，再没有连续k位均为“0”的码组。否则，在经过若干次循环移位后将得到k位信息位全为“0”，但监督位不全为“0”的一个码组。这在线性码中显然是不可能的。 因此，g(x)必须是一个常数项不为“0”的(n - k)次多项式，而且这个g(x)还是这种(n, k)码中次数为(n – k)的唯一一个多项式。因为如果有两个，则由码的封闭性，把这两个相加也应该是一个码组，且此码组多项式的次数将小于(n – k)，即连续“0”的个数多于(k – 1)。显然，这是与前面的结论矛盾的。 我们称这唯一的(n – k)次多项式g(x)为码的生成多项式。一旦确定了g(x)，则整个(n, k)循环码就被确定了。 因此，循环码的生成矩阵G可以写成 例： 上表中的编码为(7, 3)循环码，n = 7, k = 3, n – k = 4，其中唯一的一个(n – k) = 4次码多项式代表的码组是第二码组0010111，与它对应的码多项式，即生成多项式，为 g(x) = x4 + x2 + x + 1。 g(x) = x4 + x2 + x + 1 即 “1 0 1 1 1” 将此g(x)代入上矩阵，得到 或 上式不符合G = [IkQ]形式，所以它不是典型生成矩阵。但它经过线性变换后，不难化成典型阵。 此循环码组的多项式表示式T(x)： 上式表明，所有码多项式T(x)都能够被g(x)整除，而且任意一个次数不大于(k – 1)的多项式乘g(x)都是码多项式。 寻求码生成多项式 因为任意一个循环码T(x)都是g(x)的倍式，故它可以写成 T(x) = h(x)?g(x) 而生成多项式g(x)本身也是一个码组，即有 T ?(x) = g(x) 由于码组T ?(x)是一个(n – k)次多项式，故xk T ?(x)是一个n次多项式。由 可知，xk T ?(x)在模(xn + 1)运算下也是一个码组，所以有 上式左端分子和分母都是n次多项式，故相除的商式Q(x) = 1。因此，上式可以写成 将 T(x) = h(x)?g(x) 和 T ?(x) = g(x) 代入 化简后，得到 上式表明，生成多项式g(x)应该是(xn + 1)的一个因子。 例：(x7 + 1)可以分解为 为了求出(7, 3)循环码的生成多项式 g(x)，需要从上式中找到一个(n – k) = 4次的因子。这样的