第9章代数系统.ppt

设V1=Z, +，V2=Zn, ?，其中+为普通加法， ?为模n加法，即?x, y?Zn，有 x ? y=(x+y) mod n， 这里Zn={0, 1, …, n-1}。令 ?: Z→Zn，?(x)=(x) mod n， 则?是V1到V2的同态。 EXAMPLE 9.9 ∵?x, y?Z，有： ?(x+y)=(x+y) mod n=(x) mod n ? (y) mod n =?(x) ? ?(y). 设V1=R, +，V2=R, ·，其中R为实数集合，+和·为普通加法和乘法。令 ?: R→R，?(x)=ex， 则?是V1到V2的同态。 EXAMPLE 9.10 ∵?x, y?R，有： ?(x+y) = ex+y = ex · ey = ?(x) · ?(y). 设V1=S1, ?, △, k1，V2=S2, ?’, △’, k2，其中，?和?’是二元运算，△和△’是一元运算，k1?S1，k2?S2是代数常数，如果映射?: S1→S2满足以下条件： ?x, y?S1，都有： ?(x ? y)= ?(x) ?’ ?(y)， ?(△x)= △’?(x)， ?(k1)=k2. 则称?是V1到V2的同态映射，简称同态。 同态映射推广到含有k个运算的代数系统 设V1=R, +, -，V2=R+, ·, -1，其中+和· 分别表示普通加法和乘法，-x表示求x的相反数，x -1表示求x的倒数。令 ?: R→R+ ，?(x)=ex， 则?是V1到V2的同态。 EXAMPLE 9.11 ∵?x, y?R，有： ?(x+y)= ex+y = ex · ey = ?(x) · ?(y), ?(-x)= e-x = (ex)-1= (?(x))-1. 设V1=Z, +, 0，V2=Zn, ?, 0，其中+为普通加法， ?为模n加法，令 ?: Z→Zn，?(x)=(x) mod n， 则?是V1到V2的同态。 EXAMPLE 9.12 ∵?x, y?Z，有： ?(x+y) = (x+y) mod n = (x) mod n ? (y) mod n = ?(x) ? ?(y), ?(0) = 0 mod n = 0. DEFINITION 9.6 设?是V1=S1, ?到V2=S2, *的同态，则称?(S1), *是V1在?下的同态象。 设?是V1=S1, ?到V2=S2, *的同态，如果?是满射的，则称?为V1到V2的满同态，记作V1 V2 。如果?是单射的，则称?为V1到V2的单同态，如果?是双射的，则称?为V1到V2的同构，记作 V1 V2 。 自同态、零同态、自同构、单自同态 V到V自身的同态 所有元素映射到幺元 双射的自同态 单射的自同态 定理： 设V1, V2为代数系统，?和*为V1上的二元运算，?’和*’为V2上的二元运算，如果?: V1→V2是从Vl到V2的满同态，则： (1) 若?是可交换的（可结合的，幂等的），则?’也是可交换的（可结合的，幂等的）。 (2) 若?对*是可分配的，则?’对*’也是可分配的；若?对*是可吸收的，则?’对*’也是可吸收的。 (3) 若e为?运算的幺元，则?(e)为?’运算的幺元。 (4) 若?为?运算的零元，则?(?)为?’运算的零元。 (5) 设u?V1，若u-1是u关于?运算的逆元，则?(u-1)是?(u)的逆元，即?(u)-1= ?(u-1)。 DEFINITION 9.13 半群 设V=S, ?是代数系统，?为二元运算，如果?是可结合的，则称V为半群。 例9.7 (1) Z+, +, N, +, Z, +, Q, +, R, +都是半群，其中+表示普通加法。 (2) Mn(R), ·是半群，其中·表示矩阵乘法。 (3)Zn, 是半群，其中Zn={0,1,…,n-1}, 模n加法 §9.3 几个典型的代数系统 可交换半群：半群V中的二元运算可交换。 含幺半群（独异点）：半群V中的二元运算含有幺元。 子半群：半群的子代数。 子独异点：独异点的子代数。 积半群：若V1, V2是半群，则V1?V2是积半群。 积独异点：若V1, V2是独异点，则V1?V2是积独异点。 (1) Z+, +, N, +, Z, +, Q, +, R, +都是可交换半群。 (2) Mn(R), ·不是可交换半群，因为矩阵乘法不适合交换律。 (1)中除了Z+, +外都是独异点，其中普通加法的幺元是0。 (2) Mn(R), ·是独异点，矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E。 Z+, +, N, +都是Z, +的子半