第一型曲线积分.ppt

例1. 计算 例3. 计算 例4. 计算曲线积分 例5. 计算 例6. 计算 思考与练习 内容小结 3. 计算 §1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量. 二、第一型曲线积分的计算 一、第一型曲线积分的定义 第二十章 曲线积分 一、问题的提出 实例1:求曲线形构件的质量 均匀之质量 分割 求和 取极限 近似值 精确值 近似 取 设线密度为： (连续) 个可求长度的小曲线段 的弧长 ,它把 定义在 上的函数. 对曲线 做分割 分成 记为 分割 的细度为 在 上任取 一点 若有极限 为平面上可求长度的曲线段, 定义1 设 为 且 的值与分割 的取法无关, 则称此 极限为 上的第一型曲线积分, 记作 (1) 为空间可求长曲线段 , 若 为定义在 上 的函数, 则可类似地定义 在空间曲线 上 的第一型曲线积分, 并且记作 (2) 曲线形构件的质量 注:曲线积分也是一个确定的常数， 它只与被积函 数f(x,y)及积分弧段L有关. 1. 若 存在， 为 常数, 则 也存在, 且 2. 若曲线段 由曲线 首尾相接而成, 都存在, 则 也存在, 且 2.第一型曲线积分性质 3． 都存在, 且在 则 4． 也存在, 且 5． 存在, 的弧长为 则存在常数 使得 二． 第一型曲线积分的计算 定理20.1 设有光滑曲线 为定义在 上的连续函数, 则 基本思路: 计算定积分 转 化 求曲线积分 说明: 因此积分限必须满足 (2) 注意到 上有连续的导函数时, (3)式成为 当曲线 由方程 表示, 且 在 上有连续导函数时, (3)式成为 当曲线 L由方程 表示, 且 在 如果方程为极坐标形式: 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 对弧长的曲线积分的计算步骤： 化为： 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 例2. 解: o a y x A 所以 Ｂ 注：第一类曲线积分的对称性 L L1 O y x L L1 O x y L L1 O x y 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 其中?为螺旋 的一段弧. 解: 线 其中?为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知 其中?为球面 解: 化为参数方程 则 1. 已知椭圆 周长为a , 求 提示: 原式 = 利用对称性 分析: 作业：P201 1(2)(3)(4)(7);2 1. 定义 2. 性质 ( l 曲线弧 ? 的长度) ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧