2005年数学四考研试题详解.doc

2005年数学四试题、详解 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限= 2 . 【详解】 = （2） 微分方程满足初始条件的特解为 . 【详解】 原方程可化为 ，积分得 ， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2. （3）设二元函数，则 . 【详解】 , , 于是 . （4）设行向量组，，，线性相关，且，则a= . 【详解】 由题设，有 , 得，但题设，故 （5）设均为3维列向量，记矩阵 ，， 如果，那么 2 . 【详解】 由题设，有 =， 于是有 （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则 = . 【详解】 =+ ++ = 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ] 【详解】 =，知可能极值点为x=1,x=2，且 ，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). （8）设,,,其中，则 (A) . （B）. (C) . (D) . [ A ] 【详解】 在区域上，有，从而有 由于cosx在 上为单调减函数，于是 因此 ，故应选(A). （9）下列结论中正确的是 (A) 与都收敛. （B）与都发散. (C) 发散，收敛. (D) 收敛，发散. [ D ] 【详解】 =，积分收敛， =，积分发散. 故应选(D). （10）设,下列命题中正确的是 f(0)是极大值，是极小值. （B） f(0)是极小值，是极大值. （C） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值. [ B ] 【详解】 ，显然 ， 又 ，且，故f(0)是极小值，是极大值，应选(B). （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界. (D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. [ C ] 【详解】 设f(x)=, 则f(x)及均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又在（0，1）内有界，但在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C). （12）设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA，则B-C为 (A) E. （B）-E. （C）A. (D) -A [ A ] 【详解】 由B=E+AB,C=A+CA，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A, 可见，E-A与B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E. 从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而E-A可逆，故 B-C=E. 应选(A). （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件与相互独立，则 a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件与相互独立，于是有 ， 即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B). （14） 设为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布，记为标准正态分布函数，则 (A) .