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2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 曲线的拐点是（ ） （A）（1，0） （B）（2，0） （C）（3，0） （D）（4，0） 【答案】【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由可知分别是的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知， ，，，故（3，0）是一拐点。 设数列单调减少，，无界，则幂级数的收敛域为（ ） （A） (-1，1] （B） [-1，1) （C） [0，2) （D）(0，2] 【答案】【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】无界，说明幂级数的收敛半径； 单调减少，，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径。 因此，幂级数的收敛半径，收敛区间为。又由于时幂级数收敛，时幂级数发散。可知收敛域为。 设 函数具有二阶连续导数，且，，则函数 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A） (B) (C) (D) 【答案】【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。 【解析】由知， ， 所以，， 要使得函数在点(0,0)处取得极小值，仅需 ， 所以有 4、设，则的大小关系是( ) （A） （C） （D） 【答案】 【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】时，，因此 ，故选（B） 5. 设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第一行得单位矩阵.记,,则( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。 【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知，，所以，故选（D） 6、设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则基础解系可为（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。 【解析】由的基础解系只有一个知，所以，又由知，都是的解，且的极大线生无关组就是其基础解系，又 ，所以线性相关，故或为极大无关组，故应选（D） 7、设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质：； 。可知为概率密度，故选（）。 8、设随机变量与相互独立，且与存在，记,，则（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量进行处理，有一定的灵活性。 【解析】由于 可知 故应选（B） 二、填空题 9、曲线的弧长= 【答案】 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。 【解析】 10、微分方程满足条件的解为 【答案】 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为 由，得，故所求解为 11、设函数，则 【答案】 【考点分析】本题考查偏导数的计算。 【解析】。故。 12、设是柱面方程与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 【答案】 【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。 【解析】曲线的参数方程为，其中从到。因此 13、若二次曲面的方程为，经正交变换化为，则 【答案】 【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出。 【解析】本题等价于将二次型经正交变换后化为了。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为。 该二次型的矩阵为，可知，因此。 14、设二维随机变量服从，则 【答案】 【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。 【解析】：由于，由二维正态分布的性质可知随机变量独立。因此。 由于服从，可知，则 。 三、解答题 15、（本题满分10分）求极限 【答案】 【考点分析】：本题考查极限的计算，属于形式的极限。计算时先按未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等