2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）a 数学（理科） 本试卷 ....doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A 数学（理科） 本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。 参考公式：体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高。 锥体的体积公式为，其中为锥体的底面积，为锥体的高。 一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 设为虚数单位，则复数= A． B． C． D． 设集合， 则 A ． B． C． D． 若向量，，则 A． B． C． D． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A． B． C． D． 已知变量满足约束条件，则的最大值为 A．12 B．11 C．3 D．1 【答案】B 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A．12π B．45π C．57π D．81π 从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是 ． B． C． D． 对任意两个非零的平面向量α和β，定义。若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则= A． B. 1 C. D. 【解析】：因为， 且和都在集合中 ，，所以 所以，故有 【答案】B 二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。 （一）必做题（9-13题） 不等式的解集为_____。 的展开式中的系数为______。（用数字作答） 已知递增的等差数列满足，则=____。 曲线在点（1，3）处的切线方程为 。 执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为 。 （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为 （为参数）和（为参数），则曲线和的交点坐标为_______。 15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分12分） 已知函数，（其中，）的最小正周期为10π。 （1）求的值； （2）设，，求的值。 ；（2） 17. （本小题满分13分） 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：40,50]，[50,60]，[60,70]，[70,80]，[80,90]，[90,100]。 （1）求图中的值； （2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。 ；（2） 0 1 2 18.（本小题满分13分） 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。 证明：BD⊥平面PAC； 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值； 19. （本小题满分14分） 设数列的前项和为，满足，且，，成等差数列。 求的值； 求数列的通项公式。 证明：对一切正整数，有. ；（2）； （3）当时 又因为 所以， 所以， 所以， 20.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3 （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由。 ，所以 设是椭圆上任意一点，则，所以 所以，当时，有最大值，可得，所以 故椭圆的方程为： （2）因为在椭圆上， 设， 由，得 所以，，可得 并且：， 所以， 所以， 设点O到直线AB的距离为，则 所以 设，由，得，所以， ， 所以，当时，面积最大，最大为。 此时， 21.（本小题满分14分） 设，集合，。 （1）求集合（用区间表示） （2）求函数在内的极值点。 判别式 因为，所以 当时，，此时，所以； 当时，，此时，所以； 当时，，设方程的两根为且，则 ， 当时，，，所以 此时， 当时，，所以 此时， （2）， 所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数 当时，因为，所以在D内没有极值点； 当时，，所以在D内有极大值点； 当时， 由，很容易得到 （可以用作差法，也可以用分析法） 所以，在D内有极大值点； 当时， 由，很容易得到 此时，在D内没有极值点。 综上：当或时，在D内没有极值点； 当时，在D内有极大值点。