3.1.2 三维yee算法的数值稳定性.ppt

第3讲 数值稳定性与数值色散 时域有限差分法 3.1 数值稳定性 Maxwell方程的FDTD算法也存在数值稳定性问题。为了避免数值不稳定，即计算结果随时间步进无限地寄生增长，时间步长?t相对网格空间步长?x ?y和 ?z必须有界。 稳定性分析的方法是，首先将差分方程分解成相互分离的时间和空间本征问题。假设数值空间中传播平面波本征模。然后确定这些模式空间本征值谱和时间本征值稳定谱。要求整个空间本征值谱包含在时间稳定谱范围内。 由于任何波都可以用这些平面波本征模展开，所以保证每一个空间本征模都是稳定的，也就保证了网格中任意的波都是稳定的 3.1.1 二维TM模Yee算法的数值稳定性（1） 假设无磁场或电场损耗，则二维TM模的场方程为 3.1.1 二维TM模Yee算法的数值稳定性（2） 差分公式 3.1.1 二维TM模Yee算法的数值稳定性（3） 时间本征问题 增长因子： 稳定性条件： ， 对应于 ，于是 3.1.1 二维TM模Yee算法的数值稳定性（4） 空间本征问题 3.1.1 二维TM模Yee算法的数值稳定性（5） 考虑二维空间一频率谱 式中，A 表示场分量Ez,Hx,或Hy，代入本征方程得： 3.1.1 二维TM模Yee算法的数值稳定性（6） 最后得 稳定性条件 为了确保对任意空间模式的数值稳定，空间本征值范围必须完全包含在时间本征值的稳定范围内，即 于是 3.1.2 三维Yee算法的数值稳定性（1） 定义归一化磁场强度和归一化时间分别为 和 ，则Maxwell方程变为 利用复数将上面两个方程表示为一个复数方程 或简记为 3.1.2 三维Yee算法的数值稳定性（2） 时间本征值问题 采用中心差分近似 定义 ，则 稳定性要求满足 ，则稳定谱为 3.1.2 三维Yee算法的数值稳定性（3） 空间本征值问题 令 使用导数的Yee中心空间差分格式，可得 求出式中的矢量叉积，写出各分量方程，求得 3.1.2 三维Yee算法的数值稳定性（4） 于是 空间模式的本征值范围必须完全落在时间本征值的稳定范围内，即 最后可得稳定性条件 3.1.2 三维Yee算法的数值稳定性（5） 广义稳定性问题 整个Maxwell方程FDTD过程的稳定性并不只取决于Yee算法的稳定性。还与下列因素有关： 边界条件 网格构造（非均匀） 媒质特性（有耗、色散、非线性和增益） 幸运地是，大量的模拟经验已表明数值稳定性可以维持足够长，只要不是无限步迭代。 3.2 数值色散（1） FDTD法所模拟的网格中的波会发生数值色散，即网格中数值波的相速可能不同于光速。事实上它是随波的波长、传播方向以及网格分辨率变化的。 观察这种现象的一个有效方法是假设FDTD算法等效地把所考虑的电磁波问题嵌入一种稀薄（离散）的“数值以太”中，数值以太具有非常接近真空但不完全一样的介电常数。这种“以太”使得传输波积累延迟或相位误差，从而导致了非物理结果。 3.2 数值色散（2） 将空间网格中的平面波表达式 代入Maxwell方程简记式 的中心差分 公式中，可得 3.2 数值色散（3） 完成上式的叉乘，然后写出各分量方程，得到一组关于各分量的齐次线性方程组。齐次方程组具有非零解，即方程系数行列式为零。最后得到FDTD法数值色散关系的一般形式 严格的色散关系为 3.2 数值色散（4） 考虑一个二维TM模的例子。设方形单元，波以相对于正轴任意角度的方向传播，于是，色散关系简化为 利用下列Newton法的迭代过程可以方便地求解上式 数值相速 3.2 数值色散（5） 数值相速总是小于光速； 在斜入射时数值相速最大。沿网格的任一轴入射时数值相速最小； 数值相速是各向异性的。 3.2 数值色散（6） FDTD算法具有数值低通滤波特性，数值传播模式的波长的下界是2到3个空间网格，取决于传播方向。 通过选择空间网格尺寸（每波长至少1