3.4 随机变量函数的分布 - 中南大学在线课程平台.ppt

§3.4 随机变量函数的分布 (一）和的分布 (二）商的分布 (三）极值分布 (一）和的分布 (二）商的分布 3.极值分布 * * 概率论 中南大学数学院 概率统计课程组 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如，若ξ是 服从 的随机变量，为了解决计算中的查表问题，在其中引入变换 这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。 其中 证明略 定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量，其密度函为 ，又 严格单调，其反函数 有连续导数，则 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 例如，设 ξ ~ N (? ,?2) , η = a ξ +b, 则 η ~ N ( a? +b, a2?2 ) 特别地 ，若 ξ ~ N ( ? ,? 2) , 则 上面的定理在 为严格单调的情形下,而且反函数连续可微时,用起来很方便,但条件的要求很强,在许多场合往往不满足.这时,我们可以采用从求分布函数或密度函数出发,利用ξ的分布来求. 问题: 已知随机变量 ξ 的密度函数 p(x) (或分布函数F(x) ) 求η=g(ξ) 的密度函数或分布函数 方法： （1）从分布函数出发 （2）从密度函数出发 设随机变量ξ具有概率密度： 试求η =ξ -4的概率密度. 例14 解：(1) 先求η =ξ -4的分布函数 Fη(y)： 可以求得： 利用 ) ( ) ( ) 2 ( y f y F h h = ￠ 整理得 η =ξ -4 的概率密度为： 本例用到变限的定积分的求导公式 例15 已知ξ的密度函数为 为常数，且 a ? 0, 求fη( y ) 解 当a 0 时， 故 当a 0 时， 1. Z= ξ+η 的分布 由此可得概率密度函数为 由于ξ与η对称, 当ξ与η独立时, , d ) ( ) ( ) ( ò ￥ ￥ - - = y y p y z p z p Z h x 例16 设两个独立的随机变量 ξ与η都服从标准正态分布,求 ξ与η 的概率密度。 解 得 说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. 例如，设ξ与η独立，都具有正态分布，则 3 +4η +1也具有正态分布. 例17 设ξ与η相互独立，且都在区间(0, 1)上服从均 匀分布，求 Z = ξ+η 的概率密度． 解 由卷积公式有 (1) 当 时， ，此时 ． (2) 当 时， ，此时 ． (3) 当 2时， ，此时 ． (4) 当 时， ，此时 ． 因此 2. Z= ξ/η 的分布 同理可得 故有 当 ξ与η独立时, 由此可得概率密度为 解 由公式 例18 得所求密度函数 得