4-2根轨迹绘制的基本法则.ppt.ppt

举例说明 例5 已知负反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 解 令 ，得开环极点 ；令开环传递函数的分子为零，得系统的开环零点 1、根轨迹分支数为2； 2、二条根轨迹的起点分别为（ ）和 ，它们的终点为 和无穷远处。 3、根轨迹的渐近线：由于 ，所以系统只有一条渐近线，它就是负实轴。 4、实轴上的根轨迹：（ ）； 5、根轨迹与实轴分离点坐标 得 为根轨迹与实轴的分离点。 6、求起始角 = → 从而可画出如图4-12所示的根轨迹。 图4-12 法则7 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和 值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的 然后分别令其实部和虚部为零而求得。 证明：若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着 的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此，令劳斯表第一列中包含 的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的 值。此 外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，所以利用劳斯表中 行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴相交的 值。如果根轨迹与正虚轴（或负虚轴）有一个以上的交点，应采用劳斯表中大于2的 偶次方行的系数构造辅助方程。 确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，是将 代入闭环特征方程，得到 令上述方程的实部和虚部分别为零，有 和 从而可求得 值和 值。 解 控制系统的特征方程是 例6 求例3系统根轨迹与虚轴交点的坐标及临界参数值Kc 将 代入上式，得 → → 根轨迹与虚轴的交点坐标为 将 的值代入实部方程得 当 时，系统将不稳定。 法则8 根之和。系统的闭环特征方程在n＞m 的一般情况下可以有不同形式的表示 式中si为闭环特征根。 当n－m ≥2时，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和。 所以当开环增益K增大时，若闭环某些根在s平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。此法则用于判断根轨迹的 走向。 二、 闭环极点的确定。设控制系统特征方程式n个根为 ，则有 → 对于稳定的控制系统有 例7 已知例3所示系统的根轨迹与虚轴相交时两个闭环极点为 ，试确定与之对应的第三个闭环极点 及临界增益Kc 解 已知系统的特征方程为 根据方程根的和与系数的关系 可得 → 三、放大倍数的求取： 根轨迹增益与开环放大倍数的关系 0型系统： Ⅰ型系统： 4-2 根轨迹绘制的基本法则 法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。 证明:根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹,而终点则是指 的根轨迹。设系统闭环传递函数为（4-6），则闭环系统的特征方程式为 式中 可以从零变到无穷。当K*=0时，有 说明K*=0时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数的极点，所以根轨迹必起于开环极点。 将特征方程改写成如下形式 一、绘制根轨迹的基本法则 当 时，可得 所以根轨迹必终于开环零点。 实际系统中， ，因此有 条根轨迹的终点将在无穷远处。的确，当 时， 具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点,则根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点数和开环极点数相等。 法则2 根轨迹的连续性与对称性：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。 法则3 根轨迹的渐近线：当开环有限极点数 大于有限零点数m时,有 条根轨迹分支沿着与实轴交角为 交点为 的一组渐近线趋向无穷远处，且有 和 证明：渐近线就是s值很大时的根轨迹，因此渐近线也一定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式比值形式，得 式中 ， 当 时，上式可近似为 令 得渐近线方程 → 根据二项式定理 当 时，近似有 → → ， → 举例说明 例1 设控制系统如图4-5所示，其开环传递函数为 试根据已介绍的基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。 解：将开环零点、极点标注在s平面的直角坐标系上，以“×”表示开环极点，以“○”表示开