6.2 广义乘幂律与替代法的积分.ppt

探索 計算下列各函數的導數，並請問何者為 的反導數？ P.6-15 第六章　積分與其應用 替代法 範例 1、2 和 4 所用的積分技巧，有賴於是否可在積分函數中辨認或創造出 un du/dx。然而，若積分函數較為複雜，就很難應用這樣的基本積分公式，此時可使用另一種積分技巧，即替代法(substitutions) 或變數變換法 (change of variables)。此法將改寫積分為 u 和 du； 也就是，令 u ＝ f (x) 時，則 du ＝ f? (x) dx，而且廣義乘冪律的形式為 P.6-15 第六章　積分與其應用 範例 5　以替代法求積分 求 。 P.6-15 第六章　積分與其應用 範例 5　以替代法求積分 （解） 首先令 u ＝ 1 － 3x，則 du/dx ＝ －3 和 du ＝ －3 dx，即dx ＝ du，再以下列步驟求得不定積分。 P.6-15 第六章　積分與其應用 範例 5　以替代法求積分 （解） P.6-15~6-16 第六章　積分與其應用 檢查站 5 求 。 P.6-16 第六章　積分與其應用 替代法 積分替代法的基本步驟總結於下列的準則。 P.6-16 第六章　積分與其應用 範例 6　以替代法求積分 求 。 P.6-16 第六章　積分與其應用 範例 6　以替代法求積分 （解） 考慮替代 u ＝ x2 － 1，可得 du ＝ 2x dx。將原積分乘除以常數 2可得積分公式所需的 2x dx。 P.6-16 第六章　積分與其應用 範例 6　以替代法求積分 （解） 再以微分來驗算答案。 P.6-16 第六章　積分與其應用 檢查站 6 以替代法求 。 P.6-16 第六章　積分與其應用 替代法 學會本節的兩個積分技巧就可更有效率地算出積分；對於簡單的積分，除了辨認之外，再乘除以適當的常數而造出 du/dx 就可解決，對於較複雜的積分，可以利用範例 5 和 6 所引用的變數變換法來解題。本節習題建議以辨認導數與替代法將題目各做一次。 P.6-17 第六章　積分與其應用 探索 若要計算下列的積分，試問那個方法較好？請說明理由。 P.6-17 第六章　積分與其應用 延伸應用：消費傾向 在 2005 年，美國四口家庭的貧窮線約為 $20,000，低於或等於此線的家庭將花費他們的全部所得；也就是，會使用 100% 的所得於購買民生必需品，譬如食物、衣服和住宅。當所得水準增加時，平均消費會略低於 100%，譬如收入 $22,000 的家庭能存 $440，而只消費 $21,560 (收入的 98%)。當所得增加時，消費與儲蓄的比例傾向於遞減，而消費對可支配所得的變化率稱為邊際消費傾向(marginal propensity to consume)。(資料來源：美國普查局) P.6-17 第六章　積分與其應用 範例 7：決策－分析消費 在 2005 年，美國四口家庭對可支配所得 x 的邊際消費傾向可表示為 其中 Q 代表消費掉的所得。試以此模型來估計 2005 年四口家庭所得為 $33,000 的開銷。該家庭的開銷是否會超過$30,000？ P.6-17 第六章　積分與其應用 範例 7：決策－分析消費（解） 首先對 dQ/dx 積分以求得消費金額 Q 的模型。利用 x ＝ 20,000和 Q ＝ 20,000 的起始條件 P.6-17 第六章　積分與其應用 範例 7：決策－分析消費（解） 根據此模型，2005 年四口家庭所得為 $33,000 的開銷約為 $30,756，所以消費金額超過 $30,000，Q 的圖形畫在圖 6.4。 P.6-18 第六章　積分與其應用 範例 7：決策－分析消費（解） P.6-17 圖6.4 第六章　積分與其應用 學習提示 在範例 7 中以起始條件來求C 值時，Q 以 20,000 代入，x 也以 20,000 代入， Q = (x － 19,999)0.98 + C 20,000 = (20,000－19,999)0.98 + C 20,000 = 1 + C 19,999 = C P.6-18 第六章　積分與其應用 檢查站 7 根據範例 7 的模型，試問四口家庭消費額為 $30,000 的所得為何？ P.6-18 第六章　積分與其應用 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 6.2 廣義乘冪律與替代法的積分 6.2 廣義乘冪律與替代法的積分 學習目標 以廣義乘冪律求不定積分。 以替代法求不定積分。 以廣義乘冪律求解實際生活的問題。