6.2 广义乘幂律与替代法的积分学习目标.ppt

代數技巧 範例 5 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(c)。 P.6-15 第六章　積分與其應用 求 。 檢查站 5 P.6-15 第六章　積分與其應用 替代法 範例 1、2 、3 和 5 所用的積分技巧，有賴於是否可在積分函數中辨認或創造出 un du/dx。然而，若積分函數較為複雜，就很難應用這樣的基本積分公式，此時可使用另一種積分技巧，即替代法(substitutions) 或變數變換法 (change of variables)。此法將改寫積分為 u 和 du； 也就是 u ＝ f (x) 時，則 du ＝ f? (x) dx，而且廣義乘冪律的形式為 P.6-15 第六章　積分與其應用 求 。 範例 6　以替代法求積分 P.6-16 第六章　積分與其應用 範例 6　以替代法求積分 （解） 首先令 u ＝ 1 － 3x，則 du/dx ＝ －3 和 du ＝ －3 dx，即dx ＝ du，再以下列步驟求得不定積分。 P.6-16 第六章　積分與其應用 範例 6　以替代法求積分 （解） P.6-16 第六章　積分與其應用 檢查站 6 以替代法求 。 P.6-16 第六章　積分與其應用 替代法 利用微分法也可驗證此結果。 P.6-16 第六章　積分與其應用 替代法 積分替代法的基本步驟總結於下列的準則。 P.6-16 第六章　積分與其應用 範例 7　以替代法求積分 求 。 P.6-17 第六章　積分與其應用 範例 7　以替代法求積分 （解） 考慮替代 u ＝ x2 － 1，可得 du ＝ 2x dx。將原積分乘除以常數 2可得積分公式所需的 2x dx。 P.6-17 第六章　積分與其應用 再以微分來驗算答案。 範例 7　以替代法求積分 （解） P.6-17 第六章　積分與其應用 檢查站 7 以替代法求 。 P.6-17 第六章　積分與其應用 替代法 學會本節的兩個積分技巧就可更有效率地算出積分；對於簡單的積分，除了辨認之外，再乘除以適當的常數而造出 du/dx 就可解決，對於較複雜的積分，可以利用範例 6 和 7 所引用的變數變換法來解題。本節習題建議以辨認導數與替代法將題目各做一次。 P.6-17 第六章　積分與其應用 延伸應用：消費傾向 在 2009 年，美國四口家庭的貧窮線約為 $22,000，低於或等於此線的家庭將花費他們的全部所得；也就是，會使用 100% 的所得於購買民生必需品，譬如食物、衣服和住宅。當所得水準增加時，平均消費會略低於 100%，譬如收入 $25,000 的家庭能存 $500，而只消費 $24,500 (收入的 98%)。當所得增加時，消費與儲蓄的比例傾向於遞減，而消費對可支配所得的變化率稱為邊際消費傾向(marginal propensity to consume)。(資料來源：美國普查局) P.6-17 第六章　積分與其應用 範例 8　分析消費 在 2009 年，美國四口家庭對可支配所得 x 的邊際消費傾向可表示為 其中 Q 代表消費掉的所得。試以此模型來估計 2009 年四口家庭所得為 $35,000 的開銷。 P.6-18 第六章　積分與其應用 範例 8　分析消費（解） 首先對 dQ/dx 積分以求得消費金額 Q 的模型。 利用起始條件 x ＝ 22,000 時，Q ＝ 22,000，則可求得 C。 22,000＝(22,000－21,999)0.98＋C 22,000＝1＋C 21,999＝C P.6-18 第六章　積分與其應用 範例 8　分析消費（解） 因此，根據此模型 Q＝(x－21,999)0.98＋21,999 可估計四口家庭所得為 x＝35,000 的開銷約為 Q＝(35,000－21,999)0.98＋21,999 ≈ $32,756 Q 的圖形畫在圖 6.4。 P.6-18 第六章　積分與其應用 範例 8　分析消費（解） P.6-18 圖6.4 第六章　積分與其應用 檢查站 8 根據範例 8 的模型，試問四口家庭消費額為 $32,000 的所得為何？ P.6-18 第六章　積分與其應用 總結 (6.2 節) 寫出積分的廣義乘冪律，參考範例 1、2、3 及 5。 寫出積分替代法的準則，參考範例 6 與 7。 描述在現實生活中，如何利用廣義乘冪律來分析邊際消費傾向(範例 8)。 P.6-18 第六章　積分與其應用 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 微積分精華版[第九版] 廣義乘冪律與替代法的積