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77 第四章控制系统稳定性分析
第四章 控制系統穩定性分析
4-1穩定性 定義
a.時域定義：
若且唯若一線性系統稱為穩定，則對任一有限輸入均產生一有限輸出。此
穩定性的定義係基於系統研究之起因-效應或輸入-輸出之觀點 。為闡示此定義 ，
下兩圖表示外加脈衝函數且產生響應之系統 ，上圖兩者(輸入與輸出)均為有限 ，
故此系統稱為穩定。而下圖有相同的有限脈衝函數外加至系統 ，但響應為無限 ，
故此系統為不穩定 。
b. s域定義：
通常系統整體轉移函數如下：
s q b s q1 ...b
M ( s) 1 q , n q
n n1 n2
s a s a s ...a
0 1 n
上式可以部份分式展開法分解成下列的形式 ：
k k k
M ( s) 1 , 2 ... n
s s s
1 2 n
77
n n1
其中 ， 為特性方程式( )的根 ，由反拉氏轉換得
s a s ...a 0
i 0 n
t t t
m( t) k e 1 k e 2 ...k e n 1
1 2 n
顯然 ，M(s) 的穩定性與m(t) 的限度有關，且m(t)與 的正負號有關。通常 為複
i i
變數 ，若其實部均小於零 ，則響應將立刻消滅。故顯示一有限輸出的系統 ，是屬
於穩定的系統 。例如 ：
m ( t) k et k e( 2j 5 ) t k e( 2j 5 ) t k e6 t
1 1 2 3 n
m ( t) k et k e( 2j 8 ) t k e( 2j 8 ) t k e2 t
2 a b c d
m1(t)係一穩定響應 ，故M1(s)為穩定系統。然而m2(t)有一 具有正實部 ，則當t
i
達到無窮時 ，響應成為無限 ，因此M2(s)為不穩定系統。因此 ，於線性系統中 ，
穩定性的研究變成特性方程式的根的正負號研究。以圖形而言，確定是否所有的
特性根均位於s 平面的左半面 。
4-2 系統穩定性的判斷方法：
判斷系統的穩
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