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实验数据分析方法_Chap.5 实验数据分析方法 第二部分 实验数据的统计分析 第五章 误差理论与最小二乘法 第六章 回归分析 第七章 多变量分析 第八章 功率谱与周期分析 第五章 误差理论与最小二乘法 天文学的诸多理论是以天文观测为基础的，如地球自转理论、人造卫星运动理论等都离不开天文观测。人们通过对某一天文量(静态的或动态的)的直接或间接观测，获得大量的数据。而任何观测都不可避免的含有误差。因此，当我们在利用观测结果时，必须分析这些数据的可靠程度：只有当它们的误差在我们允许的范围之内时，我们才能放心大胆的去使用它，否则则不能使用。 例1：由于牛顿在其最初计算中使用了具有较大误差的地球半径值，使得他测得的月球加速度的值和理论计算值相差约10％，因而推迟了20年发表他的引力理论！ 例2：爱因斯坦广义相对论的观测证明：1916年爱因斯坦在德国《物理学纪事》上发表了具有划时代意义的重要文献《广义相对论基础》。文章指出，当光线行经太阳附近时，光线产生弯曲，其弯曲曲率预计为? = 1.”75，而1911年他用经典方法得到?=0.”9，相差两倍。如果观测能测得?在1.”75附近，这将证明他的广义相对论是正确的，如果测得的值是在经典值附近，则将否定其理论。幸好1919年英国天文学家爱丁顿爵士在西非几内亚湾的普林西比岛的日全食观测中测得?＝1.”61?0.”30；与此同时有人在巴西东北海岸外索伯雷尔的日食观测中测得?＝1.”98?0.”12。这两个结果与广义相对论的预言值相近，远大于经典理论值，强有力的证明了广义相对论的正确性! 如果他们当时的观测误差很大，置信度很低，以致于和理论值相差甚远，那么也就很难由此来验证这个理论了。由此可见，观测和误差分析对基础理论的研究起了一个不可估量的作用! 最小二乘法是用来处理具有误差的观测数据的一种有效的方法，也是最早用于天文观测资料处理的一种数学工具。早在l794年，高斯为了利用小行星坐标的多次观测准确地推算小行星的轨道，第一次应用了最小二乘法。1805年勒让德应用测量平差方法确定了彗星的轨道和地球子午线弧长。1809年高斯又推证了误差的概率定律，从而使最小二乘法高度完善化，成为数据处理中应用最广的一个分支。随着概率统计学和矩阵理论的发展以及电子计算机的广泛应用，最小二乘法进入了近代数据处理方法的行列。 §5.1 误差的定义与分类 误差是实验科学术语，指测量结果偏离真值的程度。对任何一个物理量进行的测量都不可能得出一个绝对准确的数值，即使采用测量技术所能达到的最完善的方法，测出的数值也和真实值存在差异，这种测量值和真实值的差异称为误差。(from Wiki) 误差按其表达形式分：绝对误差、相对误差 误差按其性质及产生原因分：系统误差、随机误差、过失（人为）误差 误差不仅存在于测量值中，计算时采用近似的理论模型，计算中一些理论常数的不准确以及数值计算中取位的多少等也会在计算结果中产生误差。 5.1.1 绝对误差和相对误差 一个量值的给出值的绝对误差定义为该量值的给出值与其真值之差，或用公式表示为： 绝对误差＝给出值-真值 公式中的给出值如果是被测量的观测结果，则相应的误差为观测误差；如果给出值是某量的计算近似值，则相应的误差为计算近似值的误差。式中的真值是被测量本身的真实大小，它是一个理想的概念：一般说来，真值是未知的，通常用约定值来代替。例如某一系统的天文常数也可看作相应量值的真值。从绝对误差的定义式不难看出，绝对误差和被测量具有相同的量纲。因此，若说一颗星其位置误差为0.1，测时的记录误差为0.0001，都是指的绝对误差。 我们把误差的反号值定义为修正值，则可得： 真值＝给出值 - 误差＝给出值 + 修正值 这表明，带有误差的给出值加上修正值后可消除或减小误差的影响。 在有些情况下用绝对误差来表示测量的精度是不恰当的：如目前卫星激光测距的准确度(测量值与被测量真值之间的偏离程度)已达cm级，卫星的距离一般为103km量级；但如果我们测定的是恒星的距离(这里指离太阳在20pc以内的恒星)，用三角视差法一般可准确到0.”02，相当于2pc的测距误差，显然它和卫星的测距误差是无法直接比较的！但如果我们引入相对误差的概念，它们的测距误差就有了可比性。 被测量的绝对误差?与其真值a之比定义为这个量的相对误差，并用下式表示： 当误差较小时，相对误差式中真值a可用给定值代替。对于上面的例子，它们测距的相对误差分别为1×10和1×10-1。 ? 即三角视差测量的相对误差反而要比卫星激光测距的相对误差小！ 5.1.2 系统误差、随机误差和过失误差 由观测的环境因素差异、仪器性能、不同的观测者等因素造成的按某一确定的规律变化的